Одночлены

[Effectx01]

Верно ли такое определение одночлена? Одночленом называется всякое выражение, в котором последним по порядку действием является не сложение и не вычитание.

[iifat]

Нет. Чем вам не нравятся многочисленные определения? Зачем своё?

[Igrickiy(senior)]

$(1+1)2$

[Effectx01]

iifat в сообщении #1370503 писал(а):

Нет. Чем вам не нравятся многочисленные определения? Зачем своё?

Это не моё, это из книги: Туманов С. И. Элементарная Алгебра. Пособие для самообразования. 3 издание. Здесь её советовали в одной из тем, скачал почитать. Как дошёл до этого определения, решил на всякий случай поинтересоваться.

-- 21.01.2019, 16:50 --

А какое, на ваш взгляд, определение одночлена на данный момент времени является верным и наиболее понятным?

[grizzly]

Effectx01 в сообщении #1370491 писал(а):

Одночленом называется всякое выражение, в котором последним по порядку действием является не сложение и не вычитание.

Типа $(\lg (x+1)-2)^{\sin (x+y)}$? А просто $x$ или даже $1$ тогда не совсем понятно как понимать. Ну с $1$ чуть проще -- последним действием может считаться произведение (если считать, что в пустом произведении оно и есть последнее действие :)

Effectx01 в сообщении #1370523 писал(а):

А какое, на ваш взгляд, определение одночлена на данный момент времени является верным и наиболее понятным?

Одно из двух:
(а) только произведение переменных (возможно кратное или пустое) -- $1, x, xy^3,...$;
(б) то же, умноженное на коэффициент -- $2x, (1-i)x^2y^3,...$.
Обычно используют вариант (б), ещё чаще только с вещественными коэффициентами. И в том и в другом варианте определения множество одночленов получается замкнуто относительно умножения.

[Igrickiy(senior)]

Effectx01 в сообщении #1370491 писал(а):

Одночленом называется всякое выражение, в котором последним по порядку действием является не сложение и не вычитание.

Effectx01 в сообщении #1370523 писал(а):

Туманов С. И. Элементарная Алгебра. Пособие для самообразования. 3 издание.

Я думал, здесь какое-то недоразумение.
Не поленился и нашёл.

Стр.72.
примеры одночленов:

$(a+b+c)x$

$\frac{a+1}{a-1}$

$x$

$x^3$

$(a+b)^3$

$-abc$

$5a^2b^3$

Я не знаю, как всех остальных, меня это несколько обескураживает.
Москва, УЧПЕДГИЗ 1962 год.

[EUgeneUS]

Igrickiy(senior)
А в чем проблемы с примерами?
Если считать, что в примерах $a, b, c$ - некие константы (во втором примере $a$ не ноль), а $x$ - переменная, то все примеры удовлетворяют определению, которое (которые) привел уважаемый grizzly

[Igrickiy(senior)]

EUgeneUS в сообщении #1370622 писал(а):

А в чем проблемы с примерами?

С примерами всё хорошо.
Я просто обрисовал СВОЁ состояние.
Мне показалось (мне!), что в этом случае (предложенное Тумановым определение одночлена) произведение двух многочленов будет одночленом, поскольку последним действием будет умножение.

[Someone]

Математическая энциклопедия писал(а):

ОДНОЧЛЕН — простейший вид алгебраич. выражений — многочлен, состоящий из одного члена.
Как и многочлены (см. Многочленов кольцо), О. могут рассматриваться не только над полем, но и над кольцом. О. над коммутативным кольцом $A$ от множества переменных $\{x_i\}$, где $i$ пробегает нек-рое множество индексов $I$, наз. пара $(a,\nu)$, где $a\in A$, а $\nu$ — отображение из множества $I$ в множество неотрицательных целых чисел, причем $\nu(i)=0$ для всех $i$ кроме конечного числа. О. принято записывать в виде

$$ax_{i_1}^{\nu(i_1)}\ldots x_{i_n}^{\nu(i_n)},$$

где $i_1,\ldots,i_n$ — все те индексы, для к-рых $\nu(i)>0$.

Вполне согласуется с вариантом (б) grizzly.

[Igrickiy(senior)]

Someone в сообщении #1370656 писал(а):

Вполне согласуется с вариантом (б) grizzly.

Я же не спорю с этим стандартным вариантом!
Я написал, что обескураживает определение в книге Туманова.

[Someone]

Igrickiy(senior), я Вам никаких претензий не предъявлял. Что касается определения Туманова, то оно совсем странное. Возможно, он хотел придумать что-то совсем общее, забыв, что одночлен — явно частный случай многочлена, а его определение допускает "одночлены" вида $\frac xy$ или $\frac 1x$.

[miflin]

Igrickiy(senior) в сообщении #1370645 писал(а):

Я просто обрисовал СВОЁ состояние.

Обрисую своё.
Поля и кольца (особливо коммутативные) для меня сильная абстракции. Выражусь по-крестьянски.
Насколько я оскоплю определение одночлена, если скажу так:
если для умножения некоторого выражения на какое-то число требуется приписать к выражению только это число
(ну и может, знак умножения, если приписывать справа), то выражение - одночлен.
Если же потребуются скобки, то многочлен.
В этом смысле произведение любого количества многочленов - одночлен.
Состояние нормальное.

[Igrickiy(senior)]

Someone в сообщении #1370665 писал(а):

Igrickiy(senior), я Вам никаких претензий не предъявлял.

So do I.

[Someone]

miflin в сообщении #1370666 писал(а):

В этом смысле произведение любого количества многочленов - одночлен.

Вы тоже хотите вместо стандартного определения изобрести нечто сверхобщее? Нет, $(1+x)^2$ — не одночлен.

[Xaositect]

Была тема по этому вопросу: «Определение одночлена»