Расстояние в l2

[hollo]

В $l^2$ найти расстояние от $a= \left( \frac{1}{2^k} \right)^\infty_{k=1}$ до $ M=\left\lbrace x \in l^{2}: \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{3^k} x_k = 0 \right\rbrace $

$ \rho (a,M)= x +h $, где $x \in M$, а $h \in M^{\perp}$
Насколько я понял, в данном случае $M^{\perp} = \left\lbrace \alpha (\frac{-1}{3})^k \right\rbrace$
Тогда $x=a-h=\frac{1}{2^k} - \alpha (\frac{-1}{3})^k$
Значит и $0 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{3^k} \left( \frac{1}{2^k} - \alpha (\frac{-1}{3})^k\right) = \frac{(-1)^k}{3^k 2^k} - \alpha (\frac{1}{3})^{2k}=\frac{\frac{-1}{6}}{1+\frac{1}{6}}-\alpha(\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}})$
Отсюда находим $\alpha = \frac{-8}{7}$, тогда $\left\lVert h \right\rVert = \frac{8}{7} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{9^k}} = \frac{4}{7\sqrt{2}}$
Правильно ли я нашел $M^{\perp}$, $\alpha$, $\left\lVert h \right\rVert$ ?

[thething]

hollo в сообщении #1369937 писал(а):

$ \rho (a,M)= x +h $,

Поаккуратнее в обозначениях надо, а то, слева число, справа -- вектор.

hollo в сообщении #1369937 писал(а):

Правильно ли я нашел $M^{\perp}$, $\alpha$, $\left\lVert h \right\rVert$ ?

Правильно.

[hollo]

thething
Спасибо!