Su-Schrieffer-Heeger model

[pppppppo_98]

Камерад ты случайно не это работу читаешь https://arxiv.org/pdf/1509.02295.pdf?

Если нет , открой ее и все ясно будет. И так имеется полимер (по названию модели сразу вываливается полиацителен, в котором чередуются двойные и одинарные связи), пусть есть какое-то возбуждение (дырка) в этом полиэтилене, и тогда стоит вопрос как распостраняется эта дырка по цепи. И описывается она как раз этой моделью. Итак в этой модели состояние $ \left| m, A \rangle $ - дырка находится в узле $m$ подрешетки $A$, и $ \left| m, B \rangle$ - дырка находится в узле $m$ подрешетки $B$. Все состоянию принадлежат некоторому $2 m$ гильбертову пространству $\mathcal{H}$. Гамильтониан одночастичного (однодырочного) приведен вами же (как раз видно перемежающиеся одиночные и двойные связи).Его матричная форма приведена на странице 2 указанной мной работы (после ее просмотра вообще становится все на места) - нужно диагонализовать эту матрицу. Самый простой метод указан в той же работе (стр 3-5)- замкнуть в кольцо и сделать преобразование фурье (такой поход встречал и при обсуждении антенных комплексов хлорофилла, и еще ранее в теории твердого тела) . В результате найдешь собственные уровни и числа их будет $2 m$. .

Это все касалось однодырочного состояния. В работе ничего не сказано о взаимодействии дырок в соседних узлах - ну значит и нет этого взаимодействия. Берешь сумму одночастичных состояний, применяешь антисимметрию ака принцип запрета Паули - не возможно двум дыркам в одном узле находится. С математической точки зрения это будет антисимметричный тензор ранга $k<2 m$

[StaticZero]

(Оффтоп)

pppppppo_98 в сообщении #1370102 писал(а):

Берешь сумму одночастичных состояний, применяешь антисимметрию ака принцип запрета Паули - не возможно двум дыркам в одном узле находится. С математической точки зрения это будет антисимметричный тензор ранга $k<2 m$

Да, два предложения, чтобы до подробностей разжевать которые потребовалось 15 сообщений. Главным образом о том, что такое "сумма одночастичных состояний" и как её "взять". Сейчас дальше читать начну, уверен, вылезет ещё миллион вопросов, часть которых решится простым посмотрением, а часть нет...

[Pphantom]

pppppppo_98, на форуме принято обращение на "Вы".

[pppppppo_98]

StaticZero в сообщении #1370105 писал(а):

(Оффтоп)

Главным образом о том, что такое "сумма одночастичных состояний" и как её "взять". Сейчас дальше читать начну, уверен, вылезет ещё миллион вопросов, часть которых решится простым посмотрением, а часть нет...

И тут тоже ничего сложного. Пусть имеется $k<2m$ свободных (не взаимодействующих друг с другом) дырок. Будем их индексировать индексом $\alpha\in\{1,\dots,k\}\overset{def}{=}K$. Тогда гамильтониан дырки $\alpha$

$$\hat {\mathbf H}_\alpha = v \sum \limits_{m=1}^N \left( \left|\alpha; m, A \rangle \langle \alpha; m, B \right| + \left| \alpha; m, B \rangle \langle \alpha; m, A \right| \right) + w \sum \limits_{m=1}^{N-1} \left( \left|\alpha; m + 1, A \rangle \langle\alpha; m, B \right| + \left|\alpha; m, B \rangle \langle\alpha; m + 1, A \right| \right)$$

Общий гамильтониан всей системы сумма гамильтонианов $\hat {\mathbf H}_\alpha$ ( поелику дырки $\alpha$ и $\beta$ не взаимодействуют)

$$\hat {\mathbf H} = \sum \limits_{\alpha=1}^k \hat {\mathbf H}_\alpha$$

Вся драма разворачивается в линейном пространстве $\mathcal{H}_k$ $k$-поливекторов ( ака антисимметричных тензорных произведений ранга $k$ ) гильбертова пространства $\mathcal{H}_1=\mathcal{H}\equiv \mathbb{C}^{2 m}$, т.е. $\mathcal{H}_k=\mathcal{H}^{\wedge^{k}}$.

Спектр однодырочного состояния легко находится (по моему он даже приведен в препринте). Переходя в базис собственных векторов, гамильтониан естественно диагонализуется (а дырка размазывается по всей цепочке). Аналогичным образом поступаем для $k$-частичного состояния (диагонализуем гамилтониан). Гамильтониан этого состояния инвариантен относительно группы перестановок $S_k$, то есть если дырки $\alpha\in K$, находятся в собственных состояния $l_\alpha$ (отвлечемся до конца предложения от антисимметрии), с энергиями $E_{l_\alpha}$ ($|l_1,\dots,l_k\rangle$, с собственным значением общей энергией $E=\sum \limits_{\alpha=1}^k E_{l_\alpha}$), то тому же собственному значению энергии будет принадлежать и вектор $|l_{S(1)},\dots,l_{S(k)}\rangle$, а значит и любая их линейная комбинация, в том числе антисимметричная.

То есть спектр $k$-дырочного состояния будет равен сумме спектров $k$ одночастичных состояний ( запретить при суммировании собственные значения с одинаковым индексом и факторизовать по группе перестановок $S_k$)

[StaticZero]

Переписал одноэлектронный гамильтониан пока в таком виде:

$$ \hat {\mathcal H} = v \left| N \right \rangle \left \langle N \right| \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \sum \limits_{m=1}^{N-1} \Big( v \left| m \right \rangle + w \left| m + 1 \right \rangle \Big) \left \langle m \right| \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \sum \limits_{m=1}^{N-1} \left| m \right \rangle \Big( v \left \langle m \right| + w \left \langle m + 1 \right| \Big) \otimes \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

Продолжение, возможно, следует. Привыкаю к тензорному произведению, очень удобная штука.

-- 20.01.2019 в 19:45 --

$\left| A \right \rangle \equiv \left| \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix} \right \rangle$
$\left| B \right \rangle \equiv \left| \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \right \rangle$

[StaticZero]

Munin, а как в представлении тензорного произведения выполнять нормировку? Можно написать

$$ \left| m, \alpha \right \rangle^\dagger = \left \langle m, \alpha \right| = \left \langle m \right| \otimes \left \langle \alpha \right| = \mathcal G_1 \otimes \mathcal G_2, $$

где $\mathcal G_1$ и $\mathcal G_2$ -- члены дуального пространства. Но если для операторов понятно, что каждый тензорный сомножитель действует на свой же тензорный сомножитель, то что с функционалами? Применение этого правила "втупую" даёт

$$ (\mathcal G_1 \otimes \mathcal G_2) \left| m, \alpha \right \rangle = \mathcal G_1 \left| m \right \rangle \otimes \mathcal G_2 \left| \alpha \right \rangle = \left \langle m \middle| m \right \rangle \otimes \left \langle \alpha \middle| \alpha \right \rangle = 1 \otimes 1 = ??? $$

какая корректная запись должны быть в этом случае?

-- 20.01.2019 в 21:42 --

Есть предположение, что при снятии знака функционала знак $\otimes$ должен быть заменён знаком $\times$ (примерно как с гомоморфизмами), но хотелось бы услышать ваш ответ.

[Munin]

А в чём проблема с $\langle m,\alpha | m,\alpha \rangle=1$?

[pppppppo_98]

Ну для этого нужно прочесть таки теорию тензорных произведений. Тогда вы узнаете , что $\mathb{C}\otimes\mathbf{H}\overset{\sim}{=}\mathbf{H}$ для любого векторного пространства $\mathbf{H}$. Кроме того узнаете что если $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Y}$ гильбертовы пространства, со скалярными произведениями $g_\mathbf{X}, g_\mathbf{Y}$, то в пространстве $\mathbf{X}\otimes\mathbf{Y}$ можно ввести cкалярное произведение $g(x_1\otimes y_1,x_2\otimes y_2)=g_{\mathbf X}(x_1,x_2) g_{\mathbf Y}(y_1,y_2)$. Отсюда и пляшите

[StaticZero]

Munin в сообщении #1370312 писал(а):

А в чём проблема с $\langle m,\alpha | m,\alpha \rangle=1$?

Возникает кет вида $\left| m \right \rangle \otimes \mathcal H \left| \alpha \right \rangle$, который надо пронормировать. Сопряжение даёт бра $\left \langle m \right| \otimes \left \langle \alpha \right| \mathcal H^\dagger$ и умножение их друг на друга должно быть числом

$$ \left \langle m \middle| m \right \rangle \otimes \left \langle \alpha \middle| \mathcal H^\dagger \mathcal H \middle| \alpha \right \rangle $$

и значок $\otimes$ стоящий между двумя вещественными числами меня смущает.

pppppppo_98 в сообщении #1370318 писал(а):

Ну для этого нужно прочесть таки теорию тензорных произведений

Отошлите тогда пожалуйста к книжке где это нормально написано, я пока по кратким обрывкам шёл

[pppppppo_98]

StaticZero в сообщении #1370321 писал(а):

Отошлите тогда пожалуйста к книжке где это нормально написано, я пока по кратким обрывкам шёл

Быстро английская вика https://en.m.wikipedia.org/wiki/Tensor_product. Более связно обычно пишут в хорошем учебнике по римановой или дифференцильной геометрии,включая ОТО, либо квантовоц информатики, ну или по основам КМ. Навскидку порекомендовать не могу - давно это было когда я это учил, но обычно в каждом фундаментальной монографии необходимые сведения по линейной алгебре приводятсяприводятся