Нахождение коэффициентов многочлена

[kthxbye]

Имеем для $k\geqslant j\geqslant1$

$$B(k,j)=\sum_{i=1}^k (-1)^{k+i} \binom{i}{j} (k-1)_{i-1}$$

где $(k-1)_{i-1} = (k-1)(k-2) \cdots (k-i+1)$ (убывающий факториал).

Известно, что для $j>1$

$$B(k,j)=(k-1)(B(k-1,j)+B(k-1,j-1))$$

Вполне вероятно, что

$$B(k,j)=\left\lfloor\frac{(k-1)!P_{j}(k)+2}{ej!}\right\rfloor$$

Действительно, это справедливо при

$$P_{1}(k)=k+1, P_{2}(k)=k^2+k-1, P_{3}(k)=k^3-4k+1, P_{4}(k)=k^4-3k^3-7k^2+12k+1$$

В какой программе и каким образом можно ускорить процесс нахождения этих коэффициентов?

[Vince Diesel]

С помощью программы математика удалось получить следующую гипотезу:

$$ B(k,j)=\frac1{j!}\left((k-1)!P_j(k)\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{i!}+(-1)^k Q_{j-1}(k)\right). $$

Первые шесть многочленов $P$ и $Q$:

$$ \begin{array}{cc} k+1 & 1 \\ k^2+k-1 & k \\ k^3-4 k+1 & k^2-k-2 \\ k^4-2 k^3-7 k^2+12 k+1 & k^3-3 k^2-3 k+10 \\ k^5-5 k^4-5 k^3+45 k^2-31 k-19 & k^4-6 k^3+2 k^2+35 k-46 \\ k^6-9 k^5+10 k^4+95 k^3-236 k^2+25 k+151 & k^5-10 k^4+21 k^3+62 k^2-251 k+214 \\ \end{array} $$

Связь с вашей формулой тут проглядывается: $e^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{i!}$. Однако для $j=4$ один из коэффициентов уже отличается на единицу (или это опечатка?). Но зато, поскольку тут целой части нет, коэффициенты этих многочленов находить легко, взяв для фиксированного $j$ достаточное количество равенств (скажем, для $k=1,\ldots, 3j$) и решая полученную линейную систему.