2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Нахождение коэффициентов многочлена
Сообщение17.01.2019, 10:22 
Аватара пользователя
Имеем для $k\geqslant j\geqslant1$
$$B(k,j)=\sum_{i=1}^k (-1)^{k+i} \binom{i}{j} (k-1)_{i-1}$$
где $(k-1)_{i-1} = (k-1)(k-2) \cdots (k-i+1)$ (убывающий факториал).

Известно, что для $j>1$
$$B(k,j)=(k-1)(B(k-1,j)+B(k-1,j-1))$$
Вполне вероятно, что
$$B(k,j)=\left\lfloor\frac{(k-1)!P_{j}(k)+2}{ej!}\right\rfloor$$
Действительно, это справедливо при
$$P_{1}(k)=k+1, P_{2}(k)=k^2+k-1, P_{3}(k)=k^3-4k+1, P_{4}(k)=k^4-3k^3-7k^2+12k+1$$
В какой программе и каким образом можно ускорить процесс нахождения этих коэффициентов?

 
 
 
 Re: Нахождение коэффициентов многочлена
Сообщение17.01.2019, 16:19 
С помощью программы математика удалось получить следующую гипотезу:
$$
B(k,j)=\frac1{j!}\left((k-1)!P_j(k)\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{i!}+(-1)^k Q_{j-1}(k)\right).
$$
Первые шесть многочленов $P$ и $Q$:
$$
\begin{array}{cc}
 k+1 & 1 \\
 k^2+k-1 & k \\
 k^3-4 k+1 & k^2-k-2 \\
 k^4-2 k^3-7 k^2+12 k+1 & k^3-3 k^2-3 k+10 \\
 k^5-5 k^4-5 k^3+45 k^2-31 k-19 & k^4-6 k^3+2 k^2+35 k-46 \\
 k^6-9 k^5+10 k^4+95 k^3-236 k^2+25 k+151 & k^5-10 k^4+21 k^3+62 k^2-251 k+214 \\
\end{array}
$$
Связь с вашей формулой тут проглядывается: $e^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{i!}$. Однако для $j=4$ один из коэффициентов уже отличается на единицу (или это опечатка?). Но зато, поскольку тут целой части нет, коэффициенты этих многочленов находить легко, взяв для фиксированного $j$ достаточное количество равенств (скажем, для $k=1,\ldots, 3j$) и решая полученную линейную систему.

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group