2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение коэффициентов многочлена
Сообщение17.01.2019, 10:22 
Аватара пользователя


22/11/13
324
Имеем для $k\geqslant j\geqslant1$
$$B(k,j)=\sum_{i=1}^k (-1)^{k+i} \binom{i}{j} (k-1)_{i-1}$$
где $(k-1)_{i-1} = (k-1)(k-2) \cdots (k-i+1)$ (убывающий факториал).

Известно, что для $j>1$
$$B(k,j)=(k-1)(B(k-1,j)+B(k-1,j-1))$$
Вполне вероятно, что
$$B(k,j)=\left\lfloor\frac{(k-1)!P_{j}(k)+2}{ej!}\right\rfloor$$
Действительно, это справедливо при
$$P_{1}(k)=k+1, P_{2}(k)=k^2+k-1, P_{3}(k)=k^3-4k+1, P_{4}(k)=k^4-3k^3-7k^2+12k+1$$
В какой программе и каким образом можно ускорить процесс нахождения этих коэффициентов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение коэффициентов многочлена
Сообщение17.01.2019, 16:19 
Заслуженный участник


25/02/11
1746
С помощью программы математика удалось получить следующую гипотезу:
$$
B(k,j)=\frac1{j!}\left((k-1)!P_j(k)\sum_{i=0}^{k-1}\frac{(-1)^i}{i!}+(-1)^k Q_{j-1}(k)\right).
$$
Первые шесть многочленов $P$ и $Q$:
$$
\begin{array}{cc}
 k+1 & 1 \\
 k^2+k-1 & k \\
 k^3-4 k+1 & k^2-k-2 \\
 k^4-2 k^3-7 k^2+12 k+1 & k^3-3 k^2-3 k+10 \\
 k^5-5 k^4-5 k^3+45 k^2-31 k-19 & k^4-6 k^3+2 k^2+35 k-46 \\
 k^6-9 k^5+10 k^4+95 k^3-236 k^2+25 k+151 & k^5-10 k^4+21 k^3+62 k^2-251 k+214 \\
\end{array}
$$
Связь с вашей формулой тут проглядывается: $e^{-1}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^i}{i!}$. Однако для $j=4$ один из коэффициентов уже отличается на единицу (или это опечатка?). Но зато, поскольку тут целой части нет, коэффициенты этих многочленов находить легко, взяв для фиксированного $j$ достаточное количество равенств (скажем, для $k=1,\ldots, 3j$) и решая полученную линейную систему.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: maxal, Toucan, PAV, Karan, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group