Инверсная полугруппа

[ТатьянаЧ]

Ответьте, пожалуйста, есть ли кто-то, кто рассматривал идеалы для инверсной полугруппы!!!

[lofar]

Возможно, вам поможет следующая теорема.
Теорема. Для всякой полугруппы $A$ перечисленные ниже условия эквивалентны:
(1) $A$ инверсная,
(2) $A$ регулярна и любые два идемпотента из $A$ коммутируют,
(3) Каждый главный идеал (левый или правый) $A$ порождается однозначно определенным идемпотентом.

[ТатьянаЧ]

Спасибо, но меня интересуют идеалы в инверсной симметрической полугруппе над бесконечным множеством, может кто-то рассматривал этот вопрос?

[bot]

Странный у Вас вопрос однако.
Если речь идёт о всей симметрической полугруппе S(M) над множеством M, содержащем хотя бы два элемента, то она заведомо не инверсна.
А если об инверсной подпулугруппе в S(M), то таким образом можно любую полугруппу S представить - надо добавить к S внешним образом единицу (если она уже есть - добавлять не обязательно, но можно), а потом представлять правыми сдвигами - ровно так же как это в группах делают. То есть и в этом случае опять же вопрос об идеалах произвольной инверсной полугруппы.
Если ответ lofara не устраивает, возьмите книжку Ляпина или Клиффорда, Престона.

[ТатьянаЧ]

Спасибо, но это все не то. Может у кого-то есть еще какие-то соображения?

[bot]

bot писал(а):

Странный у Вас вопрос однако.

Нет, ничего странного нет - заглянул в Клиффорда-Престона. Сочетание инверсная симметрическая полугруппа над множеством по-другому понимается. Это полугруппа частичных взаимно однозначных отображений этого множества.

ТатьянаЧ писал(а):

Спасибо, но это все не то.

Ну так уж и всё!

Начать надо с главных идеалов, поскольку всякий идеал полугруппы - это их объединение.
Из теоремы, которую привёл lofar, строение главных левых идеалов ясно. Двусторонний главный идеал, в свою очередь - это объединение левых главных ...
Поскольку речь идёт об идеалах конкретной полугруппы, то эта конкретика может помочь, идемпотенты в ней - это взаимно однозначные отображения подможеств на себя.

[ТатьянаЧ]

Спасибо. Книги у меня эти есть. Меня волнует вот какой вопрос: как можно над бесконечным множеством описать все идеалы симметрической инверсной полугруппы?

[bot]

А какая разница над каким множеством? Вот уже в какой-то мере они описаны - это объединение некоторых левых главных идеалов. Понятно, что далеко не всякое такое объединение будет двусторонним идеалом. Вот и остаётся уточнить - какое можно брать объединение. А это тоже ясно - при умножении справа на элементы полугруппы эти идеалы должны либо оставаться на месте либо переходить в другие левые главные идеалы.
Нужно ли дальнейшее уточнение с учётом конкретики - не знаю.

[ТатьянаЧ]

Может я не совсем правильно сформулировала свой вопрос, попробую по-другому. Владеет ли кто-то конкретным материалом, где бы было полное описание идеалов в инверсной симметрической полугруппе над бесконечным множеством?

[lofar]

Пусть $J(X)$ --- инверсная симметрическая полугруппа на бесконечном множестве $X$ мощности $\varkappa$. Рассмотрим множество $W_{\varkappa}$ состоящее из всех кардиналов, не превосходящих $\varkappa$. $W_{\varkappa}$ вполне упорядочено. Имеется биекция между начальными отрезками в $W_{\varkappa}$ и двусторонними идеалами в $J(X)$: начальному отрезку $A$ сопоставляем идеал $I_A=\{f\in J(X) \colon |\mathop{\rm dom}f|\in A\}$.

Стоит отметить, что если $\varkappa = \aleph_{\alpha}$, то $W_{\varkappa}$ упорядочено по типу $\omega+\alpha+1$ и значит множество начальных отрезков $W_{\varkappa}$ находится во взаимнооднозначном соответствии со множеством ординалов, не превосходящих $\omega+\alpha+1$ (= ординалом $\omega+\alpha+2$).

[ТатьянаЧ]

Спасибо! Простите, а какой источник у этого текста? Может быть, кто еще чем-то содержательным владеет?

[lofar]

ТатьянаЧ писал(а):

Простите, а какой источник у этого текста?

Это мои собственные рассуждения. Тут все довольно просто --- достаточно знать определения. Конечно же, это уже написано в какой-нибудь книжке.

ТатьянаЧ писал(а):

Может быть, кто еще чем-то содержательным владеет?

Простите, по-моему дано достаточно полное описание структуры идеалов $J(X)$. Что конкретно вам требуется?

[ТатьянаЧ]

lofar, я очень благодарна вам за предоставленную информацию, просто может существует какой-то источник (например, статья) где это все прописано? Хотелось бы почитать.