интервальная оценка многомерной сл. величины

[AndreyL]

Дамы и Господа!

Возникла задача интервальной оценки многомерной случайной величины. Предположим случайная величина $X$ подчиняется $m$-мерному нормальному распределению с центром $A$ и ковариационной матрицей $\Sigma$. Для оценки центра и ковариационной матрицы используем выборку объемом $n$, $B=\hat{A}$, $S=\hat{\Sigma}$. Тогда для определения доверительного интервала $n+1$-го элемента $Y$ (т.е. элемента, взятого из той же генеральной совокупности, что и выборка) можно воспользоваться тем, то случайная величина $f=\left(Y-B\right)S^{-1}\left(Y-B\right)^{T} \frac{(n-m) n}{m \left(n^2-1\right)}$ подчиняестя распределению Фишера с $m$ и $n-m$ степенями свободы. Для оценки ковариационной матрицы необходимое условие $n>m$.
Теперь предположим, что ковариационная матрица диагональна. Тогда оценка ковариационной матрицы тоже диагональна, и для получения этой оценки необходимое условие $n>1$. Но как теперь определить, попадает величина $Y$ в требуемый доверительный интервал, или нет?

[dsge]

Если ковариационная матрица диагональна, то ее оценка, вообще говоря, не будет диагональной. Если истинная ковариация между двумя случайными величинами нулевая, то ее оценка по конечной выборке будет ненулевая, с вероятностью 1.

[AndreyL]

Это понятно. Диагональная ковариационная матрица нужна для работы со сверхмалыми выборками, когда $n<m$. В этом случае мы пренебрегаем корреляциями.