Решить систему трансцендентных уравнений

[B@R5uk]

При решении одной, казалось бы простой, задачи, возникла такая вот система уравнений с двумя неизвестными $\varphi_1$ и $\varphi_2$:

$$\pi -{{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}}=N\left( \sin {{\varphi }_{2}}-\sin {{\varphi }_{1}} \right)$$

$$\[\left( N\sin \left( {{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{0}} \right)+\sqrt{1+{{M}^{2}}} \right)\exp \left( \frac{{{\varphi }_{1}}}{M} \right)=\left( N\sin \left( {{\varphi }_{2}}+{{\varphi }_{0}} \right)+\sqrt{1+{{M}^{2}}} \right)\exp \left( \frac{{{\varphi }_{2}}}{M} \right)\]$$

$$\[{{\varphi }_{0}}=\operatorname{atan}\frac{1}{M}\]$$

$$0<{{\varphi }_{1}}<\frac{\pi }{2}<{{\varphi }_{2}}<\pi $$

Здесь $N$ и $M$ — некие положительные параметры, которые станут аргументами двух неявных функций, которые я хочу изучить. Решение при указанных ограничениях единственно.

Я понимаю, что в конце-концов мне придётся решать численно, но может можно выразить одну неизвестную через другую из первого уравнения аналитически с помощью какой-нибудь специальной функции, чтобы подставить во второе? В этом плане меня обнадёживает то, какие чудеса можно творить с помощью W-функции Эйлера-Ламберта. Просто у меня обширный опыт численной оптимизации, но я никогда не сталкивался с решением нелинейных систем численно. Значительно проще искать один корень одного уравнения.

Подскажите, пожалуйста, что здесь можно сделать?

[Someone]

(B@R5uk)

B@R5uk в сообщении #1369056 писал(а):

$$\[{{\varphi }_{0}}=\operatorname{atan}\frac{1}{M}\]$$

$\operatorname{atan}$ — это $\arctg$? Если так, то Вам функция проверки формул, вероятно, подсказывала, как надо написать. А если это не арктангенс, тогда что?
И ещё: если Вы хотите выключную формулу, то следует писать либо только двойные доллары, либо только пару скобок \[…\] в теге math (автоматически тег ставится только вокруг долларов).

B@R5uk в сообщении #1369056 писал(а):

Подскажите, пожалуйста, что здесь можно сделать?

Можно, конечно, попытаться разложить в ряд Фурье (как для уравнения Кеплера). Будет ли полезно?

[Евгений Машеров]

Ну, если Вам удобна оптимизация - может, свести к ней? Оптимизируя невязку.

[mihiv]

Можно переписать первое уравнение в виде: $\pi-(\varphi _2+\varphi _1)=2N\cos \frac{\varphi _2+\varphi _1}2\sin \frac {\varphi _2-\varphi _1}2$ и перейти к новым неизвестным:
$\xi=\varphi _2+\varphi _1, \eta =\varphi _2-\varphi _1$.

[novichok2018]

В принципе уравнение Кеплера решается в виде ряда, в этом смысле можно выразить одно фи через другое. Только вряд ли это будет полезно и можно использовать. Формула есть на вике, только будьте внимательны, там вместо ряда написана конечная сумма.

[B@R5uk]

Someone в сообщении #1369074 писал(а):

либо только двойные доллары, либо только пару скобок \[…\] в теге math

Спасибо, я обычно большие формулы набираю в Ворде и от тудава копипасчу их, благо есть функция конвертации в формат Теха. Про арктангенс вы правильно догадались, возможно я пишу не грамотно, но мне хочется, чтобы и в моих текстах с выводом формул и в текстах программ функции назывались одинаково. Как в армии: безобразно, но единообразно. На счёт совета — проверил второй вариант, работает.

Евгений Машеров в сообщении #1369085 писал(а):

Ну, если Вам удобна оптимизация - может, свести к ней? Оптимизируя невязку.

Я думал про это много раз, но как это грамотно сделать? В смысле как правильно построить функцию невязки? Перенести в уравнениях всё в одну сторону, возвести в квадрат и сложить? Но складывать надо соразмерные числа, а тут во втором уравнении экспоненты. Могут возникнуть ошибки округления и прочие гадости арифметики с плавающей точкой. Плюс кто сказал, что минимум будет только в точке решения? Вдруг там ещё какие-нибудь локальные минимумы есть? Надо анализировать поведение четырёхмерной функции, а это задача не очень. Как вообще решают численно системы нелинейных уравнений?

mihiv в сообщении #1369088 писал(а):

Можно переписать первое уравнение в виде... и перейти к новым неизвестным:

Спасибо! Это просто гениальная идея! Таким образом можно задать одну из новых переменных, выразить явно вторую, через новые выразить мои углы и подставить их во второе уравнение, решая его численно по первой новой неизвестной. Это вполне осуществимый план.

Правда, я сейчас вгляделся внимательно в первую формулу на предмет знаков и границ и понял, что что-то не так. Перепроверил решение ещё раз и, действительно, нашёл ошибку. Правильно будет так:

\[\pi -\left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)=N\left( \sin {{\varphi }_{2}}-\sin {{\varphi }_{1}} \right)\]

После тригонометрического преобразования будет:

$$\pi -\left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)=2N\cos \frac{{{\varphi }_{2}}+{{\varphi }_{1}}}{2}\sin \frac{{{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}}{2}$$

И сумму углов можно выразить через разность. При этом на разность накладывается ограничение:

\[{{\beta }_{0}}<\frac{{{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}}{2}<\frac{\pi }{2}\]

где $\beta_0$ — решение уравнения:

$$N\sin {{\beta }_{0}}+{{\beta }_{0}}=\frac{\pi }{2}$$

\[0<{{\beta }_{0}}<\frac{\pi }{2}\]

[dsge]

B@R5uk в сообщении #1369056 писал(а):

Просто у меня обширный опыт численной оптимизации, но я никогда не сталкивался с решением нелинейных систем численно.

Гладкая оптимизация всегда сводится к системе уравнений. А дальше методом Ньютона или его вариациями решать. И наоборот нахождение корней системы можно свести к минимизации суммы квадратоа остатков. Особенно удобно, если остатки малы при начальном прииближении - легко Гессиан считать. Если масштабы остатков разные, то почти всегда можно умножить левую и правую часть на один множитель, чтобы получить необходимый масштаб.

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

может можно выразить одну неизвестную через другую из первого уравнения аналитически с помощью какой-нибудь специальной функции, чтобы подставить во второе?

Одно из решений первого уравнения - это $\varphi_2=\pi-\varphi_1 .$

[B@R5uk]

Наткнулся среди своих старых тем на эту и долго и упорно пытался вспомнить, в какой же задаче возникла эта симпатичная система уравнений. Так и не вспомнил, пока не перерыл всю папку с MATLAB-программами, где я, очевидно, решал эту систему численно и сохранил документ с выводом формул.

Оказалось, что это задача о двухполупериодном выпрямителе. При некоторых упрощающих допущениях установившийся режим рассчитывается через решение этой системы. Причём:

$$N=\frac{{{U}_{source}}C\omega }{{{I}_{load}}}$$

$$M=\omega \tau =\left( {{R}_{source}}+{{R}_{diod}} \right)C\omega$$