Является ли функция сублинейной

[Ash123]

Здравствуйте. Обычно не возникает проблем с решением подобных заданий, но попалась следующая функция:

$$\begin{cases} 3.5x,&\text{если $x\geqslant0$;}\\ +\infty,&\text{если $x<0$.} \end{cases}$$

В обычной ситуации решал бы, исходя из логики, что надграфик функции должен быть выпуклым конусом, но в данном случае не понимаю что делать.
Подскажите, пожалуйста, как доказать сублинейность.

[vpb]

1) А каким определением сублинейной функции Вы пользуетесь ?
2) Что является надграфиком данной функции ?

[Ash123]

1) Сначала хотел прибегнуть к определению, которое гласит, что надграфик сублинейной функции - выпуклый конус.
2) Меня сильно смущает +$\infty$ в условии. Поэтому я не могу сказать, что является надграфиком данной функции.

-- 08.01.2019, 15:11 --


Если данная область надграфик, то ответ, очевидно, да. Но я не уверен, что это так.

[vpb]

Можете быть уверены. В качестве значения выпуклой функции (сублинейной, в частности) допускается и $+\infty$. Так что ответ "да".

[Ash123]

Большое спасибо. Разрешите еще один вопрос? Если в функции выше перенести знак равенства к $+\infty$, т.е.
$ $$\begin{cases} 3.5x,&\text{если $x>0$;}\\ +\infty,&\text{если $x\leqslant0$,} \end{cases}$$ $
то надграфик не будет включать в себя точку (0;0), т.е. не будет выпуклым конусом. Получается, что в этом случае функция не сублинейна?

[vpb]

Вот не знаю. Я подозреваю (но это все-таки маловероятно..), что какие-то авторы (или преподаватели) такую функцию тоже могут назвать сублинейной. Во всяком случае, она является выпуклой, и условие $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ для нее выполнено при $\lambda>0$ (а для сублинейных в более строгом смысле должно быть выполнено то же условие с $\lambda\geq0$, т.е. по существу требуется, чтобы $f(0)=0$. В общем, скорее нет, чем да (т.е. от сублинейной функции мы автоматически требуем $f(0)=0$).