Спица с заряженными шариками

[Rusit8800]

Решаю последний третий пункт Олимпиады Физтех 2017 года, билет 11-07, задача 3.
После записи 2 закона Ньютона, я получил известное дифференциальное уравнение второго порядка:

$$\[\frac{{2qE}}{{ml}}\sin \alpha + \ddot \alpha = 0\]$$

Линеаризуя его, и учитывая, что $\[\alpha (0) = {\alpha _0},\dot \alpha (0) = 0\]$, получим:

$$\[\alpha (t) = {\alpha _0}\cos \left( {\sqrt {\frac{{2qE}}{{ml}}} t} \right)\]$$

Найдем теперь угловую скорость $\[\omega \]$:

$$\[\omega (t) = \dot \alpha (t) = - {\alpha _0}\sqrt {\frac{{2qE}}{{ml}}} \sin \left( {\sqrt {\frac{{2qE}}{{ml}}} t} \right)\]$$

В задаче спрашиваются такие моменты времени $t_{12}$, что

$$\[\frac{{{\alpha _0}}}{3} = \pm \sqrt {\frac{{2qE}}{{ml}}} {t_{12}}\]$$

, откуда

$$\[{\omega _{12}} = \pm {\alpha _0}\sqrt {\frac{{2qE}}{{ml}}} \sin \left( {\frac{{{\alpha _0}}}{3}} \right) \approx \pm \frac{{\alpha _0^2}}{3}\sqrt {\frac{{2qE}}{{ml}}} \]$$

В ответах же написано:

$$\[{\omega _{12}} = \pm \frac{4}{3}{\alpha _0}\sqrt {\frac{{2qE}}{{ml}}} \]$$

В решении написано только откуда то взятое с неба уравнение:

$$\[{\left( {\frac{{{{{\alpha _0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\alpha _0}} 3}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} 3}}}{{{\alpha _0}}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{\omega _{12}}}}{{{\alpha _0}\sqrt {\frac{{2qE}}{{ml}}} }}} \right)^2} = 1\]$$

Где истина?

[realeugene]

Потенциальная энергия в этой системе, если за нуль считать минимум энергии при нулевом угле, пропорциональна квадрату угла отклонения спицы от вертикали, а кинетическая энергия вращения относительно ЦМ пропорциональна квадрату угловой скорости спицы. Полная энергия сохраняется. У вас же в ответе угловая скорость пропорциональна квадрату начального отклонения, а не его первой степени. Следовательно, ваш ответ ошибочный. И такой вывод можно сделать, вообще не читая ваше решение.

[Rusit8800]

Ошибка наитупейшая - перепутал угол отклонения с его фазой(ведь и там и там радианы).