Нелинейность функции на интервале

[AlexZimin]

Есть ли возможность найти значение длины отрезка функции $f(x)$ на данном интервале.
Есть ли возможность оценить ее кривизну на интервале, сравнительно если ее характер был бы - прямая линия.
Если есть возможность, посоветуйте где искать, область математики, литература.

[photon]

AlexZimin писал(а):

найти значение длины отрезка функции

это как? Вы имеете в виду длину кривой?

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

Длина кривой определяется криволинейным интегралом

[AlexZimin]

А есть какие-то показатели степени кривизны?
Спасибо.

[Алексей К.]

AlexZimin НЕ писал(а):

Имеется кривая --- график функции $y=f(x)$. Надо найти длину дуги кривой на отрезке $a\le x\le b$. Определить некую среднюю кривизну на отрезке (подлежит уточнению: кривизна в точке определяется легко)..

Правильно ли я перевёл вопрос?

AlexZimin писал(а):

посоветуйте где искать, область математики, литература.

Любой учебник по дифф геометрии (классической), раздел "дифф. геометрия" в любом справочнике.

$$s=\int\limits_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx,\quad{}k(x)=\dfrac{f''}{(1+{f'}^2)^{3/2}}.$$

Такого рода вопросы к кривым, являющимся графиками функций, применимы с натяжкой. Вы уверены, что у Вас $y$ и $x$ одинаковой размерности и природы --- не км и секунды: перейдёте к метрам и часам, и все Ваши длины и кривизны, заранее бессмысленные, полетели на фиг.
Ежели же все нормально, это некие геометрические объекты, то Вы законно ограничились, кривыми, представляемыми зависимостью $y=f(x)$ (а не $[x(t),y(t)]$), или по неведению?

[TOTAL]

AlexZimin писал(а):

А есть какие-то показатели степени кривизны?
Спасибо.

Чем больше радиус окружности, тем меньше у нее кривизна. Кривую можно (со вторым порядком в окрестности рассматриваемой точки) приблизить дугой окружности и говорить, что радиус кривизны кривой в этой точке равен тому-то (радиусу приближающей окружности)

[Gafield]

AlexZimin писал(а):

Есть ли возможность оценить ее кривизну на интервале, сравнительно если ее характер был бы - прямая линия.

Хм, может тут подразумевается что-то, отличное от "кривизны" в математическом определении? Какая-нибудь интегральная характеристика - число, которое меряет насколько кривая не прямая? Интересует ли сравнение с прямой, соединяющей концы графика, или что-то другое? Если так, то что от нее хочется, какими свойствами должна она обладать? Если требуется, скажем, инвариантность относительно растяжений, то максимальную кривизну графика на отрезке надо будет нормировать. Или, может, подойдет что-то типа максимального отклонения графика от упомянутой прямой, отношение длин и т.п.?

[photon]

AlexZimin писал(а):

А есть какие-то показатели степени кривизны?

Возникает вопрос для чего Вам нужны эти показатели, тогда можно будет понять, как описать кривую с точки зрения кривизны: значение кривизны в каждой точке? среднее значение кривизны? среднеквадратичное отклонение кривой от аппроксимирующей её прямой? или что-то еще.

Кривизна

[Azog]

Мищенко-Фоменко почитайте.

[AlexZimin]

Попробую пояснить.
Параметр

$$ f $$

(ось

$$ y $$

) изменяется под действием температуры

$$ T $$

(ось

$$ x $$

). Температура изменяется от

$$ 0 $$

до

$$ +40 $$

. Степень изменения

$$ f $$

от

$$ T $$

характеризуется коэффициентом

$$ K=\frac {fo} f $$

,

$$ fo $$

- значение при нулевой температуре. Диапазон Т делится на интервалы. Допустим их три. Каждый интервал необходимо охарактеризовать К. При прямолинейной зависимости берется центр температурного интервала

$$ Ti= \frac{T2-T1}2 $$

с соответствующим значением fi.

$$ K=\frac {fo} {fi} $$

. Если зависимость аппроксимируется функцией вида

$$ f=a*e ^{-b*T} $$

- предлагается находить K как отношение двух интегралов:

$$\frac {\int\limits_{T1}^{T2} fo dT} {\int\limits_{T1}^{T2} a*e ^{-b*T dT}}$$

. Второй метод, кажется, точнее в случае если зависимость не прямолинейная, но первый - проще в расчете.
Видимо, в каком-то случае применение первого метода даст значение, расхожее с результатом второго и это зависит от кривизны функции на интервале. Интересно, при какой степени нелинейности расхождение в результатах будет значительно и применять первый способ нецелесообразно.
Спасибо.

[TOTAL]

AlexZimin писал(а):

Степень изменения

$$ f $$

от

$$ T $$

характеризуется коэффициентом

$$ K=\frac {fo} f $$

$$ fo $$

- значение при нулевой температуре. Диапазон Т делится на интервалы. Допустим их три. Каждый интервал необходимо охарактеризовать К.

Что такое "степень изменения"?
Что такое "характеризуется коэффициентом"?
Что значит "необходимо охарактеризовать"?

[AlexZimin]

Степень изменения, т.е. свойство f объектов, изменяется под действием температуры. Чтобы дать оценку этому изменению, вводим коэффициент, равный отношение свойства fo при оптимальной температуре To к значению свойства f при данной температуре T.

[Алексей К.]

Ежели при вчитывании чего-то в голову прийдёт (ибо читается нелегко, переводилку подключать надо), то добавлю и по существу. А пока, просмотревши, осознал одно --- про дифф. геометрию забудем, а вместо кривизны будем говорить об отклонении от линейности либо о нелинейности. Тогда будет меньше ненужных советов, вроде моего первого.

[TOTAL]

AlexZimin писал(а):

Степень изменения, т.е. свойство f объектов, изменяется под действием температуры. Чтобы дать оценку этому изменению, вводим коэффициент, равный отношение свойства fo при оптимальной температуре To к значению свойства f при данной температуре T.

Ну и вводите коэффициент. Нет проблемы.

[AlexZimin]

Алексей К. писал(а):

вместо кривизны будем говорить об отклонении от линейности либо о нелинейности

Верно.
Соответственно тема сформулирована мной не совсем корректно.
Спасибо.

[Алексей К.]

При желании дело легко поправимо --- на первом сообщении нажимаете правку, и правите именно тему.