Норма в L2

[hollo]

В $L_2[0,1]$ найдите норму $f(x)=\int\limits_{0}^{1} \sqrt{t} x(t^2) dt =$
Замена $ \tau = t^2$
$\sqrt{ \tau} = t$
$\frac{1}{2 \sqrt{\tau}} = dt$

$=\int\limits_{0}^{1} \frac{ \tau^{\frac{1}{4}} x ( \tau)}{2\sqrt{ \tau} }d \tau \leqslant \sqrt{ \int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{ \tau }d \tau}{4 \tau}} \sqrt{\int\limits_{0}^{1} x^2( \tau)d \tau}=\left\lVert x \right\rVert \frac{1}{2}$ значит $\left\lVert f \right\rVert < \frac{1}{2}$
Не уверен, правильно ли, но я подобрал
$x(t^2)=t^{\frac{5}{2}}$ значит $f(x)=\frac{1}{4}$
и $\left\lVert x \right\rVert = \sqrt{\int\limits_{0}^{1} t} = \frac{1}{2}$

[thething]

Корень-то извлекайте из одной второй. А насчет неуверенности в подборе, как-то странно. Если сошлась нижняя оценка с верхней, то все правильно. У Вас сошлась? Кстати, зачем там при подборе у Вас старая переменная? Подбирайте функцию от новой переменной, там совсем просто будет.

[hollo]

thething
$f( \tau )=\frac{1}{2\sqrt{2}} \tau^{\frac{1}{4}}$
$\left\lVert x \right\rVert = \sqrt{\int\limits_{0}^{1} t} = \sqrt{\frac{1}{2}}$
тогда $\left\lVert f \right\rVert = \frac{1}{2}$

[thething]

У Вас ответ неправильный. Аккуратно найдите первый интеграл в правой части неравенства Гёльдера. Потом подбираете $x(\tau)$, чтобы оценка стала точной. Ну, чтобы тот же интеграл и получить в итоге..

[hollo]

Что-то я запутался. Корень был потерян тут

hollo в сообщении #1366581 писал(а):

$=\int\limits_{0}^{1} \frac{ \tau^{\frac{1}{4}} x ( \tau)}{2\sqrt{ \tau} }d \tau \leqslant \sqrt{ \int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{ \tau }d \tau}{4 \tau}} \sqrt{\int\limits_{0}^{1} x^2( \tau)d \tau}=\left\lVert x \right\rVert \frac{1}{2}$ значит $\left\lVert f \right\rVert < \frac{1}{2}$

$\left\lVert f \right\rVert \leqslant \sqrt{\frac{1}{2}}$

$\left\lVert x_0 \right\rVert = \sqrt{\int\limits_{0}^{1} t dt} = \sqrt{\frac{1}{2}}$

Если сделать $x ( \tau)= \sqrt{t}$, то
$f(x_0)=\int\limits_{0}^{1}\sqrt{t}\sqrt{t}dt=\frac{1}{2}$

Тогда $\left\lVert f \right\rVert = \sqrt{\frac{1}{2}}$

[thething]

hollo в сообщении #1366692 писал(а):

Если сделать $x ( \tau)= \sqrt{t}$, то

Вы снова путаетесь: слева функция зависит от $\tau$, а справа -- от $t$. Но главное не это. Главное -- правильно подобрать $x_0(\tau)$ так, чтобы в итоге получить тот же интеграл

Цитата:

$\sqrt{ \int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{ \tau }d \tau}{4 \tau}}$

который дал Вам ответ на первом шаге. Исходя из этого, сперва распишите правую часть выражения $\left\lVert f\right\rVert\geqslant\frac{\left\lvert f(x_0)\right\rvert}{\left\lVert x_0\right\rVert}$, а потом выберите $x_0(\tau)$ так, чтобы получить хотя бы означенный интеграл, а там и корень подтянется.

Чтобы решение было осмысленным, работайте только с тем функционалом, который получился после замены, не скачите туда сюда.

[hollo]

thething
Надеюсь, на этот раз то, что нужно.
После всех замен
$f(x)=\int\limits_{0}^{1} \frac{ \tau^{\frac{1}{4}} x( \tau)}{2\sqrt{ \tau}} d \tau$

чтобы функция была такого же вида, как
$\sqrt{ \int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{ \tau }d \tau}{4 \tau}}$

Возьмем $x_0( \tau)=\frac{ \tau^{\frac{1}{4}}}{2\sqrt{ \tau}}$
$\left\lVert x_0 \right\rVert =\sqrt{\int\limits_{0}^{1}\frac{\sqrt{ \tau }}{4 \tau}d \tau} =\sqrt{\frac{1}{2}}$
$f(x_0)=\int\limits_{0}^{1} \frac{\sqrt{ \tau}}{ 4 \tau}d \tau = \frac{1}{2}$

[thething]

Да, на этот раз хорошо. В порядке пожелания: используйте операции со степенями, оставляя $\tau$, скажем, только в знаменателе. Так и подбираться будет удобнее.

[hollo]

thething
Спасибо!