Норма функционала

[hollo]

В $C_{[-1,1]}$ найдите норму функционала $f(x)=\int\limits_{0}^{1}x(-t)dt-\int\limits_{-1}^{0}x(t^2)dt$
Для начала я решил сделать замену
$\tau = -t$
$s = t^2$
$t= \sqrt{s}$
$dt=\frac{1}{2\sqrt{s}}$

$f(x)=\int\limits_{-1}^{0}x( \tau) d \tau - \int\limits_{-1}^{0} \frac{x(s)ds}{2\sqrt{s}} = \int\limits_{-1}^{0}x( \tau) d \tau - \int\limits_{-1}^{0} \frac{x( \tau)d \tau}{2\sqrt{ \tau}} = \int\limits_{-1}^{0}x( \tau) [1-\frac{1}{2 \sqrt{ \tau}}]$ Второе слагаемое обозначим за $y( \tau)$

Дальше я решил оценить $\left\lvert f(x) \right\rvert \leqslant \int\limits_{-1}^{0} \left\lvert x( \tau) y( \tau) \right\rvert d \tau \leqslant \left\lVert x \right\rVert \int\limits_{-1}^{0} \left\lvert y( \tau) \right\rvert d \tau = c \left\lVert x \right\rVert$

$c = \int\limits_{-1}^{0} [1-\frac{1}{2 \tau}] d \tau=0$ и это значит, что $\left\lVert f \right\rVert=0$ Может ли быть такое? Или где-то ошибка?

[thething]

В замене есть ошибки. Заметьте, что переменная интегрирования во втором интеграле изначально отрицательна, да и пределы интегрирования после замены другие.

[hollo]

thething
$f(x)=\int\limits_{0}^{1}x(-t) - \int\limits_{-1}^{0} x(t^2)dt = $ замена
$= \int\limits_{0}^{1} x( \tau) (-dt) - \int\limits_{-1}^{0} \frac{x(s)}{2 \sqrt{s}}ds=\int\limits_{1}^{0} x( \tau) d \tau - \int\limits_{-1}^{0} \frac{x(s) ds}{2 \sqrt{s}} = - \left\lVert x \right\rVert - \left\lVert x \right\rVert \int\limits_{-1}^{0} \frac{ds}{2\sqrt{s}}= - \left\lVert x \right\rVert - \left\lVert x \right\rVert$
Значит $\left\lVert f \right\rVert \leqslant -2$

Правильно ли будет использовать такую $x_n=$$\begin{cases} 1,&\text{если $t \in [-1,-\frac{1}{n}]$;}\\ -nt,&\text{если $t \in[\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$;}\\ -1,&\text{если $t \in [\frac{1}{n},1]$.} \end{cases}$$$

тогда $f(x_n)=2-\frac{1}{n}$
$\left\lVert x_n \right\rVert = 1$

$\frac{f(x_n)}{\left\lVert x \right\rVert}\to 2$?

[thething]

Вот как так-то? Вторая, самая трудная часть с подбором хорошая, но первая
Сделайте всё аккуратно, все замены и оценки, в первой половине. А то что это там за отрицательная норма образовалась?

-- 07.01.2019, 22:55 --

Я ж выше написал, какие были ошибки при замене. И оценивать надо модуль функционала на первом шаге

[hollo]

Попробую все сделать еще раз. Начну с замены.
$\tau = -t$
$s = t^2$
$t= \sqrt{s}$
$dt=\frac{1}{2\sqrt{s}}$
Тогда $f(x)=\int\limits_{0}^{-1} x(\tau)(-d \tau) - \int\limits_{1}^{0} \frac{x(s)}{2\sqrt{s}}ds = \int\limits_{-1}^{0} x( \tau )d \tau - \int\limits_{1}^{0} \frac{x( \tau)}{2 \sqrt{ \tau}}$

Оценка будет такая $\left\lvert f(x) \right\rvert \leqslant \left\lVert x \right\rVert - \frac{\left\lVert x \right\rVert}{2} \int\limits_{1}^{0} \frac{d \tau}{\sqrt{ \tau}} = 2 \left\lVert x \right\rVert$ значит $\left\lvert f(x) \right\rvert \leqslant 2$
Тогда
$x_n=$$\begin{cases} 1,&\text{если $t \in [-1,-\frac{1}{n}]$;}\\ -nt,&\text{если $t \in[\frac{1}{n},\frac{1}{n}]$;}\\ -1,&\text{если $t \in [\frac{1}{n},1]$.} \end{cases}$$$
$\frac{f(x_n)}{\left\lVert x \right\rVert}\to 2$

[thething]

Вот во второй замене Вы пишете $t=\sqrt{s}$. Как это согласуется с тем, что во втором интеграле (до замены) $t\in[-1,0]$?

[hollo]

Надеюсь, что так верно

$$\int\limits_{0}^{-1} -x( \tau) d \tau - \int\limits_{-1}^{0} x(s) d \sqrt{s}= \int\limits_{-1}^{0} x( \tau) d\tau - \int\limits_{-1}^{0} x( \tau) d(- \tau)=2\left\lVert x \right\rVert$$

[SomePupil]

hollo, а все-таки примеры на ф. замены переменной стоит пересмотреть; внимательно следя, что и где подставляется. А также ощутить разницу между $-\sqrt{s}$ и $\sqrt s.$ Я понимаю, что все это может показаться слишком просто, но требование аккуратности никто не отменял.

[thething]

hollo
Вернитесь вот сюда

hollo в сообщении #1366894 писал(а):

Тогда $f(x)=\int\limits_{0}^{-1} x(\tau)(-d \tau) - \int\limits_{1}^{0} \frac{x(s)}{2\sqrt{s}}ds = \int\limits_{-1}^{0} x( \tau )d \tau - \int\limits_{1}^{0} \frac{x( \tau)}{2 \sqrt{ \tau}}$

Вот тут было почти хорошо, только учесть во второй замене отрицательность $t$. Ничего больше не меняя! В конце концов, пределы интегрирования проверьте: как это, если $t=\sqrt{s}$, то при каком $s$ может получиться старое значение $t=-1$?

[hollo]

thething
Если $t$ изменяется от $-1$ до $0$
то $s$ изменяется от $i$ до $0$

[thething]

Ну ёлы палы, ну если $x^2=2$, то чему может быть равен $x$? Если $t^2=s$ и при этом $t$ -- отрицательно, то чему равно $t$?