Доказательство смены четности перестановки у Куроша

[Free_Student]

Добрый день! Читаю Куроша "Курс высшей алгебры" - застрял на параграфе с перестановками, а именно на доказательстве утверждения, что всякая транспозиция меняет чётность перестановки. Если транспонируемые символы i, j стоят рядом, то всё ок, вопросов нет. Вопрос возникает, если эти символы разделены неким количеством s иных символов. В этом случае Курош рассуждает так:



Возникает вопрос: а если применить не $2s+1$ транспозиций соседних элементов, а иную транспозицию для перестановки i,j? Что будет тогда? Почему мы рассматриваем лишь один путь, ведь поменять местами i,j можно и иной цепочкой транспозиций. Можно вообще банально заменить местами i, j, ведь транспозиция не обязательно касается соседних элементов.

Посмотрел курс алгебры Винберга - то же доказательство. Значит, просто я нечто недопонял, но что именно - не могу осознать :) Просто с моей точки зрения это смотрится как "докажем, что все первые 17 натуральных чисел - корни уравнения $x^{17}=1$. Проверим $x=1$ - отлично, этот случай нам подходит. Всё ок, теорема доказана, остальные случаи проверять не станем".

[Otta]

Значит, доказательство. Абзац первый: когда транспонируются элементы рядом. Там тщательно все разжевано, увязано с определением четности/нечетности, пояснений не нужно.
Абзац второй: доказательство основано на уже доказанном. На первом абзаце и определении четности. То есть последовательно транспонируются рядом стоящие элементы.

Другим путем тут транспонировать не с руки - доказывать придется с нуля, ничего не используя. Это гораздо сложнее, да и не надо. Тем более, что именно в этом состоит смысл доказываемого утверждения: "Всякая транспозиция меняет четность перестановки".

Если это все равно неубедительно, можно выписать самому себе ряд из перестановок:
$\ldots, i, k_1,k_2,k_3,\ldots, k_{s-1}, k_s, j,\ldots$
$\ldots, k_1, i, k_2,k_3,\ldots, k_{s-1}, k_s, j,\ldots$
$\ldots, k_1, k_2, i, k_3,\ldots, k_{s-1}, k_s, j,\ldots$
$\ldots, k_1, k_2, k_3, i, \ldots, k_{s-1}, k_s, j,\ldots$
....
$\ldots, k_1, k_2, k_3, \ldots, i, k_{s-1}, k_s, j,\ldots$
$\ldots, k_1, k_2, k_3, \ldots, k_{s-1}, i, k_s, j,\ldots$
$\ldots, k_1, k_2, k_3, i, \ldots, k_{s-1}, k_s, i, j,\ldots$
$\ldots, k_1, k_2, k_3, \ldots, k_{s-1}, k_s, j, i\ldots$
$\ldots, k_1, k_2, k_3, \ldots, k_{s-1}, j, k_s, i\ldots$
$\ldots, k_1, k_2, k_3, \ldots, j, k_{s-1}, k_s, i\ldots$
.....
$\ldots, k_1, k_2, k_3, j, \ldots, k_{s-1}, k_s, i\ldots$
$\ldots, k_1, k_2, j, k_3, \ldots, k_{s-1}, k_s, i\ldots$
$\ldots, k_1, j, k_2, k_3, \ldots, k_{s-1}, k_s, i\ldots$
$\ldots, j, k_1, k_2, k_3, \ldots, k_{s-1}, k_s, i\ldots$
где любые две соседние перестановки имеют, согласно уже доказанному в первой части док-ва, разную четность. А всего их четное число. Так что первая и последняя - разной четности. В таком рассуждении никак не задействован механизм перетаскивания и конкретный алгоритм транспонирования (видимость которого создается лишь благодаря словам, выбранным исключительно для наглядности, но не для сути), которые Вас так смущают.

[Free_Student]

Otta, спасибо за ответ! Сложности с пониманием именно этой цепочки у меня нет :) Мне сложно понять, почему доказательство именно для этой цепочки доказывает утверждение в целом.

Например, когда мы доказываем, что сумма $\arctg{x}+\arcctg{x}$ равна константе, то рассматриваем функцию $f(x)=\arctg{x}+\arcctg{x}$, показывая, что $f'(x)=0$, т.е. $f(x)=C$. А потом уже делаем логический переход: если для всех x функция постоянна и равна некоей С, то и, например, для $x=0$, функция будет равна той же С. Ну, и находим эту С, подставляя $x=0$.

Т.е., по идее, и тут задача состоит из двух частей: доказать, что все цепочки транспозиций, в результате которых i,j меняются местами, изменяют чётность исходной перестановки одинаково, а затем провести рассуждения для одной конкретной цепочки транспозиций рядом стоящих элементов.
Можно ли сказать, что так как фиксированная перестановка имеет фиксированную чётность, а в результате любой цепочки транспозиций мы приходим к этой фиксированной перестановке, то утверждение про одинаковую смену чётности очевидно?

В общем, немного запутался :) Для себя я доказал это утверждение по-иному, но хочется понять именно это доказательство.

[Null]

Free_Student в сообщении #1366524 писал(а):

Можно ли сказать, что так как фиксированная перестановка имеет фиксированную чётность, а в результате любой цепочки транспозиций мы приходим к этой фиксированной перестановке, то утверждение про одинаковую смену чётности очевидно?

Да.

[Otta]

Free_Student в сообщении #1366524 писал(а):

Т.е., по идее, и тут задача состоит из двух частей: доказать, что все цепочки транспозиций, в результате которых i,j меняются местами, изменяют чётность исходной перестановки одинаково, а затем провести рассуждения для одной конкретной цепочки транспозиций рядом стоящих элементов.

Нет, не состоит. Ваши проблемы возникают из-за того, что Вы пытаетесь наделить процесс некоей динамикой: "цепочки... меняются... изменяют". Не надо. Вот есть совершенно статический набор. Я его выписала. Имею право. И в нем первая и последняя перестановки имеют разную четность. Какая разница, что случится, если я отвлекусь от этого набора и затеюсь переставлять что-то еще и иным способом? Четность перестановки определяется однозначно..

[Free_Student]

Null
Otta
большое спасибо, я осознал :)

[iifat]

На всякий случай добавлю. Чётность перестановки есть (по определению) функция перестановки. Именно из этого следует, что достаточно проследить один путь её получения.