Рекурсия, делимость, просьба к обладателям мат. пакетов

[Andrey A]

Задана последовательность $f$ как функция от нечетного ряда: $f_1=1,f_3=U-1,...,f_{2n+1}=Uf_{2n-1}-f_{2n-3},...$ ,
где $U=4m^2-2$, $m$ - фиксированный четный аргумент. В явном виде:

$$f_{2n+1}=\dfrac{(m+\sqrt{m^2-1})^{2n+1}+(m-\sqrt{m^2-1})^{2n+1}}{2m} \approx \dfrac{(m+\sqrt{m^2-1})^{2n+1}}{2m}.$$

Хотелось бы проверить следующее утверждение: если некоторый член последовательности кратен квадрату простого $p>2$, то $p$ делит его номер. $p^2 \mid f_{2n+1} \Rightarrow p \mid 2n+1.$ Вольфрам исключений не увидел, но это слабовато для проверки. Информации нужной к сожалению не нашел. Заранее благодарен.

-- 06.01.2019, 20:51 --

p.s. уже вижу, что это неверно: $m=128, f_3=13 \cdot 71^2$, а значит и $f_{3(2k+1)}$. В больших номерах исключения видимо также возможны при больших числах Спасибо.