2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение04.01.2019, 22:07 


04/01/19
3
Вычислите интеграл:
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2018x}{\sin x}dx$$

Усложненная версия, которая предлагалась в варианте для математиков:

(Оффтоп)

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{\sin2018x}{\sin x})^2 dx$$


Предлагалось на олимпиаде по математике УрФУ в 2018 году, сколько бился, не смог. Численное интегрирование даёт число чуть меньшее, чем $\frac{\pi}{2}$.

Как-нибудь свести к интегральному синусу не вышло, вычеты использовать не позволяет куча нулей на контуре, какой-нибудь хитрый параметр ввести, и затем дифференцированием по нему свести к решаемому диффуру тоже не получилось.

Максимум, что получилось — преобразовать подынтегральную функцию в виде такой суммы произведений косинусов разных степеней и кратных углов, но проще от этого не стало :/
$$\frac{\sin nx}{\sin x} = \sum\limits_{k=0}^{n}\cos kx \cos^{n-k}x$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение04.01.2019, 23:12 
Аватара пользователя


15/12/18
20/02/19
254
Москва Зябликово
Интересная формула:
$$\sin{(n+1)x}=2\sin{nx}\cos{x}-\sin{(n-1)x}$$
И ещё одна:
$$\sin{2nx}=\operatorname{Im}(\cos{x}+i\sin{x})^{2n}=\operatorname{Im}((\cos{x}+i\sin{x})^2)^n=
\operatorname{Im}(2\cos^2{x}-1+2i\sin{x}\cos{x})^n$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение04.01.2019, 23:17 


20/01/12
61
panihil в сообщении #1365998 писал(а):
Вычислите интеграл:
$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin2018x}{\sin x}dx$$

Для начала, попробуйте вычислить сумму первых n = 2018 членов геометрической прогрессии:
$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}(\exp(-2ix))^k$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение05.01.2019, 02:43 


04/01/19
3
=SSN= в сообщении #1366016 писал(а):
Для начала, попробуйте вычислить сумму первых n = 2018 членов геометрической прогрессии:
$$\sum\limits_{k=0}^{n-1}(\exp(-2ix))^k$$

Отличная подсказка, спасибо. Не признал геометрическую прогрессию, хотя в экспоненциальном виде синусы разложить пробовал.
После всех причёсываний пришёл к следующей сумме:
$$\sum\limits_{k=0}^{1008}(-1)^k(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+1-2018})$$
Как её посчитать «не в лоб»? (слагаемые напоминают ряд Маклорена для арктангенса единицы, так что неудивительно, что оно так близко к $\pi/2$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение05.01.2019, 05:07 


20/01/12
61
panihil в сообщении #1366088 писал(а):
Как её посчитать «не в лоб»?

Если раскрыть скобки и во второй сумме изменить порядок суммирования, то получится, что она равна в точности первой сумме.

Так что с точностью до O(2/2019) вся сумма будет равна:
$$2\cdot\sum\limits_{k=0}^{1008}(-1)^k\frac{1}{2k+1} \approx 2\cdot{\arctg(1)} - \frac{2}{2019}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение09.01.2019, 21:37 


04/01/19
3
=SSN= в сообщении #1366097 писал(а):
Если раскрыть скобки и во второй сумме изменить порядок суммирования, то получится, что она равна в точности первой сумме.

Так что с точностью до O(2/2019) вся сумма будет равна:
$$2\cdot\sum\limits_{k=0}^{1008}(-1)^k\frac{1}{2k+1} \approx 2\cdot{\arctg(1)} - \frac{2}{2019}$$


Окей, с первым разобрался, спасибо.
Какие есть идеи по поводу этого же выражения в квадрате? Если делать таким же методом, получается две чисто мнимых суммы, т. е. действительная часть должна быть равна нулю, но численно она далеко не ноль.

$$({\dfrac{\sin nx}{\sin x})^2 = ({e^{i(n-1)x}\cdot\sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{-i2kx}})^2 = \sum\limits_{k=0}^{n-1}e^{-i2x(2k-(n-1))} + 2 \sum\limits_{j\ne k=0}^{n-1}e^{-i2x(k+j-(n-1))};$$
$$\int\limits_{0}^{\pi/2}({\frac{\sin nx}{\sin x}})^2dx = \sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{i}{4k-2(n-1)}(e^{i\pi(n-1-2k)}-1)+ \sum\limits_{j\ne k=0}^{n-1}\dfrac{i}{k+j-(n-1)}(e^{i\pi(n-1-(k+j)}-1)=$$
$$ = i \cdot( \sum\limits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{4k-2(n-1)}((-1)^{n-1-2k}-1)+ \sum\limits_{j\ne k=0}^{n-1}\dfrac{1}{k+j-(n-1)}((-1)^{n-1-(k+j)}-1))$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение10.01.2019, 05:49 


20/01/12
61
panihil в сообщении #1367282 писал(а):
Если делать таким же методом, получается две чисто мнимых суммы, т. е. действительная часть должна быть равна нулю, но численно она далеко не ноль.

Попробуйте учесть тот факт, что функция: $${\dfrac{\sin(nx)}{\sin(x)}}$$ является четной, а значит:
$$({\dfrac{\sin(nx)}{\sin(x)}})^2 = {\dfrac{\sin(nx)}{\sin(x)}}\cdot{\dfrac{\sin(-nx)}{\sin(-x)}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение11.01.2019, 08:45 


07/11/18
32
С квадратиком, по моему, даже легче считается, т.к. под интегралом ядро Фейера с точностью до умножения на константу.
Кстати, если бы год был 2019 (нечётный), то первый интеграл равен $\pi/2$. Интересно было бы посчитать вот такое:
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(nx)\sin(mx)}{\sin^2(x)}dx,\ n,m\in\mathbb{N}.
$$
Если $m$ и $n$ одной чётности, то вроде бы считается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение12.01.2019, 16:46 
Заслуженный участник


03/01/09
1295
москва
jekyl в сообщении #1367634 писал(а):
Если $m$ и $n$ одной чётности, то вроде бы считается

Если $n>m$ и они одной четности, то $I=n\frac {\pi }2$. Получается интегрированием один раз по частям $(dv=\frac {dx}{\sin ^2x})$ и тригон. преобразованиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение14.01.2019, 08:39 


07/11/18
32
mihiv в сообщении #1367967 писал(а):
то $I=n\frac {\pi }2$.

Тут опечатка. $I=m\pi/2$, если $n>m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от отношения кратных синусов
Сообщение14.01.2019, 11:33 
Заслуженный участник


03/01/09
1295
москва
jekyl в сообщении #1368516 писал(а):
Тут опечатка. $I=m\pi/2$, если $n>m$.

Да, действительно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group