Сумма с биномиальными коэффициентами

[mr.daos]

Добрый день. Столкнулся с суммой

$$\sum_{k=0}^n C_n^k{\frac{(-1)^k}{2k+1}}.$$

Поначалу я думал как ее вычислить, потом наткнулся на выражение

$$\frac{2^{2n}}{(2n+1)C_{2n}^n}$$

и сдается мне, что это ответ:)
Собственно, меня интересует, как к этому прийти. Мат. индукция, конечно, хорошо, но изначально задача стоит в нахождении суммы, а не в доказательстве ее равенства этому выражению. Поэтому, лучше что-то другое.

[thething]

Попробуйте проинтегрировать формулу бинома Ньютона $(1-x^2)^n$.

[mr.daos]

thething в сообщении #1365921 писал(а):

Попробуйте проинтегрировать формулу бинома Ньютона $(1-x^2)^n$.

Оттуда я и получил эту сумму, проинтегрировав от 0 до 1. Но ответа в замкнутом виде это не дало.

[thething]

Интеграл сводится к бета-функции, можно выразить через гамма-функции, которые считаются в замкнутом виде.

[mr.daos]

thething в сообщении #1365930 писал(а):

Интеграл сводится к бета-функции, можно выразить через гамма-функции, которые считаются в замкнутом виде.

Интересный подход. Попробую реализовать.

[StaticZero]

$$ \int \limits_0^1 (1-x)^{n+p} (1+x)^{n-p} \ \mathrm dx = J_p, \quad J_p = \frac{1 + (n-p)J_{p+1}}{n+p+1}. $$

Дано $J_n = 1/(2n+1)$, найти $J_0$.

[Lia]

mr.daos
А ведь спрашивала я Вас - не определенный ли там интеграл, часом, а?
Зачем вот так делать, одну задачу в десяти темах смотреть?

-- 04.01.2019, 20:29 --

StaticZero
Укушу.

[StaticZero]

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1365936 писал(а):

StaticZero
Укушу.

Не кусайте. От меня ни слова больше.

[mr.daos]

Lia в сообщении #1365936 писал(а):

mr.daos
А ведь спрашивала я Вас - не определенный ли там интеграл, часом, а?
Зачем вот так делать, одну задачу в десяти темах смотреть?

В прошлой теме мне действительно нужен был только интеграл с переменным верхним пределом, но потом немного подумал и пришел к выводу, что все таки нужно рассматривать определенный.
Насчет новой темы виноват, надо было действительно написать в предыдущую.

-- 04.01.2019, 22:38 --

StaticZero в сообщении #1365935 писал(а):

$$ \int \limits_0^1 (1-x)^{n+p} (1+x)^{n-p} \ \mathrm dx = J_p, \quad J_p = \frac{1 + (n-p)J_{p+1}}{n+p+1}. $$

Дано $J_n = 1/(2n+1)$, найти $J_0$.

Это, видимо, можно получить интегрируя по частям?

-- 04.01.2019, 22:49 --

Все, понял.