Сократимость дроби, Наибольший Общий Делитель

[NikitaSavinykh]

Доброго времени суток.
В рамках подготовки к экзамену наткнулся на задачу, решения которой я совершенно не понимаю!

Пример и решение взяты из сборника подготовки в разделе нахождения НОД, далее привожу само условие:

Целые числа $\mathrm{m}$ и $\mathrm{n}$ не имеют общих делителей, отличных от 1 и -1. Является ли дробь $\frac{5m-3n}{2m+5n}$ сократимой при различных $\mathrm{m}$ и $\mathrm{n}$

Решение выглядит следующим образом:

Пусть:

$$\mathrm{d=gcd(5m-3n;2m+5n) > 1}$$

(от англ.greatest common divisor);

Тогда справедливы равенства:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 5m-3n=dk \\ 2m+5n=ds \\ \end{array} \right.$$

Где числа $\mathrm{k}$ и $\mathrm{s}$ взаимно просты. Значит, дробь можно сократить только на один из делителей числа $\mathrm{d}$, отличный от 1.
Запишем $m=\frac{5k+3s}{31}d$, $n=\frac{5s-2k}{31}d$.
Отсюда $d=31q$.

Конец решения по решебнику\задачнику, из которого я понимаю только смысл вот этой части:

Цитата:

Пусть:

$$\mathrm{d=gcd(5m-3n;2m+5n) > 1}$$

(Поскольку только положительный целый общий делитель, отличный от 1 будет "сокращать" данную дробь)

Например, я не понимаю, откуда в данном случае взялась система уравнений, что за переменные $k$ и $s$ и для чего они были введены, что значит итоговое $d=31q$ ?

Самостоятельное успешное выведение $m$ и $n$ к тому виду, в котором эти переменные представлены в задаче, никаким образом не привели меня к пониманию, также как и многочасовое разглядывание свойств Наибольшего Общего Делителя.

На тот случай, если кто-нибудь заинтересуется источником задачи:
Название задачника и издательство, год издания: ЕГЭ-2019. Математика. Решение задач.
Авторы: В. В. Мирошин, А. Р. Рязановский.

Тут можно пролистать до данной задачи (страница 10, чуть ниже описания есть предпросмотр)

Целью считаю именно полное понимание данного решения, а так же хода мысли автора.
Всем, кто сможет помочь, заранее выражаю огромную благодарность!

[provincialka]

NikitaSavinykh в сообщении #1365709 писал(а):

многочасовое разглядывание свойств Наибольшего Общего Делителя.

Разглядывать, безусловно, не очень продуктивно. Вот обдумывать -- другое дело.

NikitaSavinykh в сообщении #1365709 писал(а):

Например, я не понимаю, откуда в данном случае взялась система уравнений, что за переменные $k$ и $s$ и для чего они были введены

Как раз из сути НОД (наибольшего общего делителя). Эти уравнения в точности означают, что и числитель, и знаменатель делятся на $d$. Если к тому же этот общий делитель наибольший, то числа $k=\dfrac{5m-3n}{d}$ и $s=\dfrac{2m+5n}{d}$ взаимно просты. То есть их общий делитель -- только 1.

($k$ и $s$ -- просто частные от деления.)

PS. Вы привели решение из книжки, или свой вольный пересказ? Выглядит, скажем так, довольно неряшливо.

[Sonic86]

NikitaSavinykh в сообщении #1365709 писал(а):

что значит итоговое $d=31q$

Оно значит $31 | d$ ($31$ делит $d$)

NikitaSavinykh в сообщении #1365709 писал(а):

откуда в данном случае взялась система уравнений

равносильно переписали понятное Вам $\mathrm{d=gcd(5m-3n;2m+5n) > 1}$.

Для решения также следует заметить, что все преобразования равносильны.

Есть второй способ решения: использовать равенство $\gcd(a,b)=\gcd(a,a+b)$, которое ценно само по себе.

Еще замечу, что во многих таких простых задачах переменные $q$, порождаемые преобразованием $A|B\Leftrightarrow A=qB$, чаще всего почти нужны (используется только их существование) и только сознание замусоривают. Чтобы от них реально абстрагироваться, нужно использовать соотношения типа $\gcd(a,b)=\gcd(a,a+b)$ и сравнения по модулю, которые помогают их избежать.

[iifat]

NikitaSavinykh в сообщении #1365709 писал(а):

можно пролистать до данной задачи

Где там можно пролистать-то? Не, за 119 рублей можно, но за такие деньги будьте любезны всё ж сюда процитировать...

NikitaSavinykh в сообщении #1365709 писал(а):

что за переменные $k$ и $s$

Ну вспомните ж таки, что есть НОД?

[NikitaSavinykh]

provincialka в сообщении #1365716 писал(а):

Эти уравнения в точности означают, что и числитель, и знаменатель делятся на $d$. Если к тому же этот общий делитель наибольший, то числа $k=\dfrac{5m-3n}{d}$ и $s=\dfrac{2m+5n}{d}$ взаимно просты. То есть их общий делитель -- только 1.

Спасибо за Ваш ответ!

Правильно ли я понял Вас, что это можно сформулировать следующим образом (новые переменные я ввел чтобы упростить запись):

При:

$$ v_{1}=5m-3n$$ $$ v_{2}=5n+2m $$

Система приобретает вид:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} v_{1}=dk_{1} \\ v_{2}=dk_{2} \\ \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} k_{1}=\frac{v_{1}}{d} \\ k_{2}=\frac{v_{2}}{d} \\ \end{array} \right.$$

И можно сказать что:

$$ \frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{k_{1}d}{k_{2}d} $$

А поскольку $k_{1}$ и $k_{2}$ взаимно простые, то и получается что d - НОД $v_{1}$ и $v_{2}$.

Правильно я понимаю?

provincialka в сообщении #1365716 писал(а):

PS. Вы привели решение из книжки, или свой вольный пересказ? Выглядит, скажем так, довольно неряшливо.

По ссылке в шапке есть ссылка на решебник с бесплатным предпросмотром, если пролистать полтора экрана вниз - на 10 странице вы найдете условие задачи, которое занимает примерно половину моего поста вначале.
Это на тот случай, если данный вопрос Вас действительно интересует.

[Lia]

NikitaSavinykh
Пользуйтесь кнопкой "Вставка" для правильного оформления выборочного цитирования.

[provincialka]

NikitaSavinykh в сообщении #1365909 писал(а):

По ссылке в шапке есть ссылка на решебник с бесплатным предпросмотром, если пролистать полтора экрана вниз - на 10 странице вы найдете условие задачи, которое занимает примерно половину моего поста вначале.

Нет уж, увольте... Искать по ссылкам не хочу (тем более, она у меня и не открылась).

Не понимаю, зачем вам новые переменные. И вообще, вам важно разобрать именно то решение или понять, как решаются такие задачи? Тут нужна идея, называемая "алгоритм Евклида".

-- 05.01.2019, 21:49 --

NikitaSavinykh в сообщении #1365909 писал(а):

И можно сказать что:

$$ \frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{k_{1}d}{k_{2}d} $$

А поскольку $k_{1}$ и $k_{2}$ взаимно простые, то и получается что d - НОД $v_{1}$ и $v_{2}$.

Правильно я понимаю?

Ну, если вы сами понимаете то, что написали -- наверное, правильно. При чем тут дробь? Просто, если вы разделите два числа на их наибольший общий делитель, то других общих делителей у них не останется.