Релятивисткая механика

[elusive_sinner]

Ракета летит со скоростью $V$ через скопление, состоящее из одинаковых, равномерно распределенных звезд. Сколько звeзд, по мнению экипажа, уменьшило длину волны своего излучения более чем в два раза по сравнению с результатами наблюдений из неподвижного корабля.

Мои идеи: нужно найти через эффект Доплера предельный угол при котором будет наблюдаться уменьшение длины волны, а затем найти через абберацию какая часть сферы попадает в это значение, дальше качественных рассуждений не могу уйти

[Pphantom]

Есть вариант формулы эффекта Допплера, в котором фигурирует угол между скоростью движения источника и направлением на него. Вполне достаточно воспользоваться ей.

[elusive_sinner]

Pphantom
Спасибо! Но тогда возникает вопрос, откуда берётся $\frac{1}{2}$, я прошерстил задачники и нашёл там ответ $\frac{\gamma-2}{2\beta}+\frac{1}{2}$

[Pphantom]

elusive_sinner в сообщении #1365140 писал(а):

Спасибо! Но тогда возникает вопрос, откуда берётся $\frac{1}{2}$, я прошерстил задачники и нашёл там ответ $\frac{\gamma-2}{2\beta}+\frac{1}{2}$

Напишете решение - посмотрим. Но для начала стоит выяснить, что именно понимается в задачнике под $\gamma$ и $\beta$. Что-то мне кажется, что по крайней мере второе - не то, что вы думаете.

[elusive_sinner]

Pphantom
пока писал решение, понял что допустил чётное количество ошибок, но в любом случае $\gamma$ - гамма фактор, $\beta$ - отношение скорости к скорости света

[Pphantom]

elusive_sinner в сообщении #1365153 писал(а):

но в любом случае $\gamma$ - гамма фактор, $\beta$ - отношение скорости к скорости света

Уверены? В таком случае приведенный вами ответ при $V \to 0$ дает очевидно нелепый результат.

[elusive_sinner]

Pphantom
Тогда из соображений логики $\beta\to1$ при $V\to0$, чтобы было всё чётко. Что это, ещё один гамма фактор под другим обозначением?

[Pphantom]

elusive_sinner в сообщении #1365156 писал(а):

Тогда из соображений логики $\beta\to1$ при $V\to0$, чтобы было всё чётко. Что это, ещё один гамма фактор под другим обозначением?

Да, для этого предельного случая такое предположение сделает результат разумным. А для $V \to c$ он снова станет нелепым.

Так что $\beta$ - это таки что-то другое. Что именно - лучше посмотреть там, где вы нашли ответ (и про $\gamma$ не забыть - обозначение, конечно, стандартное, но и $\beta=V/c$ - тоже).

[elusive_sinner]

Pphantom
А это может быть опечаткой или такой ответ при некоторых допущениях имеет смысл? Это из задачника Ю. И. Бельченко, Е. А. Гилев, З. К. Силагадзе (привёл бы ссылку, но в интернет вариантах нет ответов). Пояснений ни к ответу, ни к самой задаче нет, обозначения во всем издании используются стандартные.

[Pphantom]

Не знаю. Давайте вы все-таки попробуете ее решить.

[elusive_sinner]

Pphantom
из Доплера мы получим угол, а из угла площадь сферического сегмента, а значит и искомое отношение. $\eta=\frac{1}{2}N(1-\cos\theta)$. $2\omega=\omega(\frac{1}{\gamma(1-\beta\cos\theta)})$, $\cos\theta=\frac{1}{\beta}-\frac{1}{2\gamma\beta}$ Но у меня такая же проблема в предельных случаях, как и в ответе.

[Pphantom]

elusive_sinner в сообщении #1365170 писал(а):

Но у меня такая же проблема в предельных случаях, как и в ответе.

Почему? Тут как раз все нормально.

[elusive_sinner]

Pphantom
Да, я разобрался! Спасибо!

[Dachnik]

elusive_sinner в сообщении #1365135 писал(а):

Ракета летит со скоростью $V$ через скопление, состоящее из одинаковых, равномерно распределенных звезд. Сколько звeзд, по мнению экипажа, уменьшило длину волны своего излучения более чем в два раза по сравнению с результатами наблюдений из неподвижного корабля.

Если я правильно понимаю задачу, то более чем в два раза, нигде.
Возможно задача приведена с опечаткой.
Полусфера звезд неподвижна. Движется корабль-приемник.
Значит релятивистской поправки не будет.
Прямо по курсу эффект Доплера при V = C
$ \omega = \omega_0(1 + \frac {C}{C }) = 2\omega_0$
$L = \frac {C}{2\omega_0} = 0.5L_0$
Если в задаче будет уменьшение длины волны не в два раза, а в 1,5 раза,
решение будет, но без релятивистской поправки.

[DimaM]

Dachnik в сообщении #1368163 писал(а):

Полусфера звезд неподвижна. Движется корабль-приемник.
Значит релятивистской поправки не будет.

Странный вывод. Противоречащий принципу относительности.