Мнимая временная координата и электродинамика

[Alastoros]

Условия кватернионной аналитичности кватерниона
$e = ({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})$
есть ("Кватернионы в релятивистской физике")
$0 = {{({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})}_{,0}} + {{i({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})}_{,1}} + {{j({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})}_{,2}} + {{k({e_0} + {{ie}_1} + {{je}_2} + {{ke}_3})}_{,3}}$
Раскрывая скобки, используя правило умножения кватернионных мнимых единиц Гамильтона и группируя по типам мнимых единиц, получаем уравнение
$0 = ({e_{0,0}} - {e_{1,1}} - {e_{2,2}} - {e_{3,3}}) + i({e_{0,1}} + {e_{1,0}} - {e_{2,3}} + {e_{3,2}}) + j({e_{0,2}} + {e_{1,3}} + {e_{2,0}} - {e_{3,1}}) + k({e_{0,3}} - {e_{1,2}} + {e_{2,1}} + {e_{3,0}})$
Для получения отсюда вакуумных уравнений электродинамики удобно использовать в качестве компонент кватерниона (e_1, e_2, e_3) компоненты комплексного вектора ЭМП E + IH, квадрат которого дает его инварианты (а вовсе не H - IE, как в названной книге) и мнимую временную координату It (c = 1), так как при дифференцировании по ней мнимую единицу, стоящую в знаменателях, необходимо заменять на минус мнимую единицу в числителях, благодаря чему
$0 = [-({E_{1,1}} + {E_{2,2}} + {E_{3,3}}) - I({H_{1,1}} + {H_{2,2}} + {H_{3,3}})] + i[-I({E_{1,t}} + {H_{2,3}} - {H_{3,2}}) + ({H_{1,t}} + {E_{3,2}} - {E_{2,3}})] + j[-I({E_{2,t}} + {H_{3,1}} - {H_{1,3}}) + ({H_{2,t}} + {E_{1,3}} - {E_{3,1}})] + k[-I({E_{3,t}} + {H_{1,2}} - {H_{2,1}}) + ({H_{3,t}} + {E_{2,1}} - {E_{1,2}})]$
Так действительно ли необходимо избавляться от мнимой временной координаты при переходе от СТО к ОТО, как говорится в МТУ-1, если именно она дает уравнения электродинамики из условия кватернионной аналитичности?

[Ascold]

Alastoros в сообщении #1365111 писал(а):

Так действительно ли необходимо избавляться от мнимой временной координаты при переходе от СТО к ОТО, как говорится в МТУ-1, если именно она дает уравнения электродинамики из условия кватернионной аналитичности?

Я ни разу не математик, кватернионов не знаю, но изучал немножко СТО и ОТО, поэтому мой ответ таков: электродинамику можно построить без кватернионов, да и без мнимой единицы тоже если ввести векторы и 1-формы(ко- и контрвариантные координаты векторов, что то же самое).
Если по-простому, то мнимая единица в электродинамике нужна, чтобы cкалярное произведение четырёхмерных векторов в геометрии Минковского(которая в СТО) писать в той же форме, что и в евклидовой геометрии: $AB=A_iB_i$.
Тогда метрика у нас типа евклидова и о ней можно поэтому не думать вообще.
В ОТО такой трюк не прокатывает, ибо нетривиальная метрика, меняющаяся от точки к точке.

[Munin]

Alastoros в сообщении #1365111 писал(а):

удобно использовать в качестве компонент кватерниона (e_1, e_2, e_3) компоненты комплексного вектора ЭМП E + IH, квадрат которого дает его инварианты (а вовсе не H - IE, как в названной книге)

Во-первых, нет никакой разницы. Во-вторых, это уже не настоящие кватернионы, потому что в настоящих компоненты действительные.

Alastoros в сообщении #1365111 писал(а):

Так действительно ли необходимо избавляться от мнимой временной координаты при переходе от СТО к ОТО, как говорится в МТУ-1, если именно она дает уравнения электродинамики из условия кватернионной аналитичности?

В третьих, электромагнитное поле - всего лишь одно из многих полей. Нет никакого смысла подгонять математику именно под него, если остальные не получают аналогичных выгод. (В начале 20 века остальных полей не знали, и поэтому придумывали много философской ерунды на пустом месте. Сегодня это не выглядит разумным.)