Обозначения в Зориче

[SNet]

В определении дифференцируемости функции (В. А. Зорич -- Математический анализ, том 1, стр. 209 по 4-му изданию) Зорич вводит следующие обозначения для приращений аргумента и функции соответственно:
$\Delta x(h) = h, \Delta f(x; h) = f(x + h) - f(x)$
Если с $\Delta f(x; h) = f(x + h) - f(x)$ включение в определение $x$ можно понять: приращение функции зависит от "опорной точки", то напрочь непонятно включение $h$ что в определение значка для приращения аргумента, что в определение значка для приращения функции. Чуть ниже написано:

Их часто (правда, не вполне законно) обозначают символами $\Delta x, \Delta f(x)$ самих функций от h.

Почему не вполне законно? В чём тут дело?

[iou]

Дело в том, что дифференциал функции $f: M \to N$ в точке $x$ это линейное отображение касательных пространств $df: T_x M \to T_{f(x)} N$, в частности, $h$ здесь играет роль касательного вектора. В случае с $\mathbb{R}$ имеется отождествление касательного пространства в каждой точке с самой прямой, поэтому обычно разделения не проводят, в общем случае оно необходимо, поэтому такая запись не совсем законная.

[ewert]

SNet в сообщении #1364804 писал(а):

$\Delta x(h) = h, \Delta f(x; h) = f(x + h) - f(x)$
Если с $\Delta f(x; h) = f(x + h) - f(x)$ включение в определение $x$ можно понять: приращение функции зависит от "опорной точки", то напрочь непонятно включение $h$ что в определение значка для приращения аргумента, что в определение значка для приращения функции.

Вот как раз во втором случае не может быть никаких сомнений -- там действительно именно два аргумента. Сомнительным выглядит именно первый случай. И там запись действительно выглядит коряво, но имеется-то в виду банальность -- это частный случай второй записи, когда $f(x)\equiv x$.