Дифференцируемый оператор

[StaticZero]

Читаю статью J. E. Avron, A. Elgart. Adiabatic Theorem without a Gap Condition. Страница 458, теорема 4 формулируется следующим образом:

Цитата:

Theorem 4. Suppose that $P(s)$, $s \ne s_0 \in [0, 1]$, is a finite rank spectral projection which is piecewise twice differentiable (as a bounded operator) and is everywhere continuous on $[0, 1]$. Then the initial data $\psi_\tau \in \operatorname{Range} P(0)$ evolve according to Eq. (1) so that $\operatorname{dist} \left(\psi_\tau, \operatorname{Range} P(s) \right) \leqslant o(1)$ for all $s \in [0, 1]$.

Оператор конечного ранга - это означает, что $\dim \operatorname{Range} < \infty$, с этим понятно. А вот что означает "дважды дифференцируемый (как ограниченный)" и "всюду непрерывный" в этом контексте? Я читаю статью и вижу, что имеется в виду дифференцируемость по параметру $s$ (там используются точки над оператором, означающие $\partial/\partial s$). И если с непрерывностью примерно понятно:

$$ \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta: \ \forall h, \ |h| < \delta \Rightarrow || P(s + h) - P(s) || < \varepsilon. $$

то что означает "дважды дифференцируемый (как ограниченный)"? Означает ли это, что оператор $P(s)$ предполагается ограниченным при любом $s$ и дважды дифференцируемым по $s$ или что-то иное заложено в эту фразу?

Заодно хочу уточнить про $\operatorname{dist} (\psi, M) = \inf \limits_{\varphi \in M} || \psi - \varphi ||$ --- это так или бывает, что понимается нечто иное?

(Оффтоп)

Курса функана у меня не было, а статью надо как-то вкурить прямщас, хотя бы чётко видеть формулировки основных теорем. Сижу в обнимку с Колмогоровым-Фоминым.

[vpb]

Ну, если есть банахово пространство (например, всех ограниченных операторов на данном гильбертовом пространстве) и отображение откуда-то (скажем, из другого банахова пространства, или из вещественных чисел, или еще откуда) в него, то имеются понятия непрерывности и дифференцируемости. В КФ ближе к концу.

-- 28.12.2018, 04:57 --

StaticZero в сообщении #1364206 писал(а):

дважды дифференцируемым по $s$ или что-то иное заложено в эту фразу?

Не дважды дифференцируемым по $s$ при любом значении аргумента (который есть вектор из пространства), а дважды дифференцируемым как отображение из $[0,1]$ в пространство операторов (вероятно). (Второе -- это более сильное условие).

[g______d]

vpb в сообщении #1364206 писал(а):

Второе -- это более сильное условие

Для ортогональных проекторов конечного ранга равномерная и сильная непрерывность (гладкость) равносильны. Пусть $b_1,\ldots,b_n$ -- базис для $\mathrm{Ran}\, P(0)$. Тогда $P(t)b_1,\ldots,P(t)b_n$ будет базисом для $\mathrm{Ran}\, P(t)$ при малых $t$. Если $P(t)b_1,\ldots,P(t)b_n$ непрерывные/гладкие как отображения из $[0,1]$ в гильбертово пространство, то результат ортогонализации Грама-Шмидта $e_1(t),\ldots,e_n(t)$ тоже будет непрерывным/гладким, но тогда и сам проектор $P(t)$ восстанавливается формулой

$$ \langle \cdot,e_1(t)\rangle e_1(t)+\ldots+\langle \cdot,e_n(t)\rangle e_n(t) $$

и будет непрерывным/гладким уже по операторной норме, как сумма конечного числа функций с теми же свойствами (важно, что для одномерных проекторов сильная и слабая непрерывность/гладкость очевидно равносильны).

[StaticZero]

vpb, тогда эта дважды дифференцируемость означает это:

$$ \exists A: \ P(s + h) - P(s) = hA + \delta A, $$

где $\delta A$ --- оператор такой, что $||\delta A|| = o(h)$ при $h \to 0$. Обозначим $A = \dot P$.

$$ \exists B: \ A(s + h) - A(s) = hB + \delta B, $$

где $\delta B$ --- оператор такой, что $||\delta B|| = o(h)$ при $h \to 0$. Обозначим $B = \ddot P$. Верно?

Если так, то операторы $A(s)$ и $B(s)$ действуют из $\operatorname{dom} P(s)$ в $\operatorname{im} P(s)$, верно?

[vpb]

StaticZero в сообщении #1364248 писал(а):

Обозначим $B = \ddot P$. Верно?

Да, верно. Это дифференцируемость, что называется, в равномерном смысле. И, как я понимаю, могут быть точки, в которых вторая производная не существует (а первая существует везде, по условию).

StaticZero в сообщении #1364248 писал(а):

действуют из $\operatorname{dom} P(s)$ в $\operatorname{im} P(s)$, верно?

А вот это не знаю... Насчет образа вряд ли, так как образ --- это конечномерное пространство, меняющееся в зависимости от $s$. Поэтому образ второй производной в точке $s$ может в образе $P(s)$ и не лежать. А что означает "spectral projection" ? Тут контекст знать надо. Если оператор --- это ортогональный проектор на конечномерное подпространство, то у него область определения --- это всё пространство.

(Да и вообще функан --- не моя область, так что многим я тут помочь, возможно, не смогу.)

[StaticZero]

vpb в сообщении #1364254 писал(а):

А что означает "spectral projection"

Насколько понял я из статьи, есть гамильтониан $\mathcal H$, у которого исследуется собственное значение $E$. И этот ортогональный проектор --- спектральный в том смысле, что $\operatorname{im} P = \ker (\mathcal H - E \mathcal I)$.

-- 28.12.2018 в 12:54 --

На гамильтониан наложены ограничения такие: при любом $s \in [0, 1]$ $\operatorname{dom} \mathcal H(s)$ совпадают между собой, $||\mathcal H(s)|| \geqslant \Lambda$, оператор $R(\lambda; s) = (\mathcal H(s) - \lambda \mathcal I)^{-1}$ ограничен и дифференцируем (не понял, по аргументам или в собственном смысле), оператор $\mathcal H(s) \frac{\partial R(\lambda; s)}{\partial s}$ ограничен.

[vpb]

Увы, это уже за границы моих знаний выходит. (слова понятны приблизительно, не более того...)

[StaticZero]

vpb, и на этом вам спасибо.