Непрерывность функции от 2-х переменных

[assik]

На множестве $[a,b] \times [c,d]$ рассматривается функция $z=f(x,y)$. Известно, что $f(x,y)$ непрерывна по $x$ на $(a,b)$ при любом $y\in[c,d]$, а также равномерно непрерывна по $y$ при любом $x\in[a,b]$ на $(c,d)$. Необходимо доказать непрерывность $z=f(x,y)$ по совокупности переменных внутри прямоугольника $[a,b] \times [c,d]$. Имеется такой вариант. Возьмём произвольную точку $(x_0,y_0)$ внутри указанного прямоугольника. Тогда

$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\leq |f(x,y)-f(x_0,y)+f(x_0,y)-f(x_0,y_0)|\leq$

$ |f(x,y)-f(x_0,y)|+|f(x_0,y)-f(x_0,y_0)|.\qquad \qquad \qquad (1)$

Так как $f$ непрерывна по $x$ и равномерно непрерывна по $y$, то

$|f(x,y)-f(x_0,y)|<\frac{\varepsilon}{2},\quad |x-x_0|<\delta_x$

и

$|f(x_0,y)-f(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2},\quad |y-y_0|<\delta_y.$

С учетом последних 2-х неравенств из (1) следует

$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|\leq\varepsilon,\quad |x-x_0|<\delta_x,\,|y-y_0|<\delta_y,$

что и означает непрерывность $f(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$. Годится ли такое доказательство?

[vpb]

assik в сообщении #1364106 писал(а):

внутри прямоугольника $[a,b] \times [c,d]$.

Не совсем понятно. Имеется в виду на множестве $(a,b)\times(c,d)$ (во внутренности прямоугольника) или на $[a,b]\times[c,d]$ (весь прямоугольник) ? Обычно такие слова означают первое. Если же второе, то само утверждение неверно (подумайте).

-- 28.12.2018, 04:30 --

assik в сообщении #1364106 писал(а):

равномерно непрерывна по $y$ при любом $x\in[a,b]$ на $(c,d)$

Тоже непонятно. Для каждого $x$ равномерная непрерывность по $y$ "своя", или общая для всех $x$ ? Сформулируйте утверждение "в кванторах" и аккуратнее ("для любого", "существует", "такое, что", и т.д.).

[assik]

vpb в сообщении #1364205 писал(а):

Не совсем понятно.

Функция $f(x,y)$ рассматривается в прямоугольнике $P=\left\{(x,y):\,\,a \leq x \leq b,\,c \leq y \leq d\right\}$. Известно, что при любом фиксированном $y\in[c,d]$ функция одной переменной $\varphi(x)=f(x,y)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, а также

$|f(x,y_1)-f(x,y_2)| \leq M|y_1-y_2|, \qquad \forall \, y_1,\,y_2 \in [c,d],\,\, \forall \,x \in [a,b],\qquad (1)$

где $M$-const. Требуется доказать, что выполнение этих условий гарантирует непрерывность $f(x,y)$ как функции от двух переменных $x$ и $y$ в прямоугольнике $P$. Рассуждения таковы. Возьмем произвольную точку $(x_0,y_0) \in P$ и оценим разность значений функции $f(x,y)$ в ней и в некоторой другой точке $(x,y) \in P$:

$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|=|f(x,y)-f(x,y_0)+f(x,y_0)-f(x_0,y_0)| \leq $

$\leq |f(x,y)-f(x,y_0)|+|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|. \qquad \qquad \qquad \quad (2)$

Исходя из (1), для любого $\varepsilon>0.$

$|f(x,y)-f(x,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2},\quad \forall\,y:\,|y-y_0|<\frac{\varepsilon}{2M}.$

Далее, с учетом непрерывности $f(x,y_0)$ в точке $x=x_0$ существует такое число $\delta>0$, что

$|f(x,y_0)-f(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2},\quad \forall\,x:\,|x-x_0|<\delta.$

Теперь, имея ввиду последние два неравенства, возвращаемся к (2) и утверждаем, что для любого $\varepsilon>0$ существует $\Delta>0$, такое что:

$|f(x,y)-f(x_0,y_0)|<\varepsilon,$

если только

$|x-x_0|<\Delta,\quad |y-y_0|<\Delta,$

где $\Delta=\min\left\{\frac{\varepsilon}{2M},\,\delta\right\}$. А это и означает непрерывность $f(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$.

[vpb]

Всё правильно, и даже весьма аккуратно. Похвально !

[assik]

vpb в сообщении #1364668 писал(а):

Похвально !

Спасибо!

[vpb]

Пожалуйста, заходите, если что !