Многочлены степени не выше n

[eugbag]

Есть т.н циклические группы когда $x^n=e$ (единичный эл-т) Чтобы построить хоть какие многочлены нам нужно хотя бы кольцо. Но чтобы перемножение многочленов отличалось от стандартного нам нужно существование такого n чтобы $x^n=e$ для всех x (как для комплексных корней из 1).
Но для тех же комплексных корней операция сложения не замкнута т.е. сумма 2 корней из 1 выводит за пределы множества.
Поэтому вопрос.Существуют ли такие алгебраические структуры где $x^n=e$ для некоторого n и любого x? (Где само x и коэффициенты многочлена принадлежат одному кольцу) Тогда результатом перемножения многочленов степени не выше n был бы такой же многочлен степени не выше n наподобие кольца вычетов.
(как приятно было бы школьникам 7 класса вместо опостылевших действий по раскрытию скобок и перемножению многочленов увидеть пример чего-то нестандартного)

[mihaild]

Что-то странное вы пишете. Если у нас есть кольцо $R$, то можно рассмотреть кольцо многочленов $R[x]$. Но многочлены $x^n$ и $x^m$ отличаются как элементы $R[x]$ при $n \neq m$.

Группы, в которых существует такое $n$, что $x^n = e$ для любого $x$ существуют (например все конечные группы, но не только). Колец с таким свойством не существует (попробуйте доказать!).

(еще есть подозрение, что вы говорите о совпадении функций, задаваемых многочленами; действительно, над некоторыми кольцами существуют различные многочлены, задающие одну и ту же функцию - например, над любым конечным кольцом есть только конечное число функций, а многочленов бесконечно)

[eugbag]

т.е получается что нет таких примеров что при перемножении
скажем $x^3 \cdot x^5 =x$ (при умножении слева на обратный получим $x^7=1$ для любого x но у нас не группа а кольцо и вопрос сводится о существовании кольца с циклической группой по умножению.
Хотя конечно сам факт существования разных многочленов задающих одну и ту же функцию для школьников тоже интересен.если $P(x)=G(x)$ для всех x то $Q(x)=P(x)-G(x) $ многочлен с какими то ненулевыми коэфф но тождественно равный нулю

[Otta]

eugbag
Извините, пожалуйста, не очень понятно, в чем вопрос. Не могли бы Вы задать его как-то по-другому?

[eugbag]

Otta в сообщении #1363940 писал(а):

eugbag
Извините, пожалуйста, не очень понятно, в чем вопрос. Не могли бы Вы задать его как-то по-другому?

идея - найти примеры алгебраических структур где произведение многочленов вычислялось бы аналогично как в кольце вычетов, т.е степени при x не всегда складывались, а при превышении $i+j \ge n$ было бы
$x^i \cdot x^j =x^{i+j-n}$

[Otta]

Ничто не мешает рассматривать вычеты над кольцом многочленов по нужному модулю.