Определение меры Хаара для группы Ли

[npetric]

Мера Хаара -- неотрицательная мера на группе, удоблетворяющая:

\[\forall g \in G,\quad \int_G f(gx) d \mu(x) = \int_G f(x) d \mu(x)\]

В случае групп Ли утверждается, что эту меру можно получить из диф формы высшего порядка в единице, разнеся её в произвольную точку $g \in G$ пуллбэком $L_{g^{-1}}^*$.

А как из дифф формы получить неотрицательную меру?

Есть предположение, что для этого необходимо зафиксировать ориентацию, рассматривать только атласы, с ней согласованные, и на каждом таком атласе просто взять в локальных координатах

\[ w(g_1, \ldots, g_n) dg_1 \wedge \ldots \wedge dg_n \mapsto |w(g_1, \ldots, g_n)| dg_1 \wedge \ldots \wedge dg_n\]

Известно, что любая группа Ли ориентируема. Вроде бы, предложенный способ введения меры правильный?

[pogulyat_vyshel]

По-моему, из левоинвариантной метрики она поучается эта мера $\sqrt gdx^1\wedge\ldots\wedge dx^n$
$g$ -- определитель матрицы метрического тензора

[npetric]

pogulyat_vyshel
Для группы аффинных преобразований прямой у меня получилось то же, что в википедии для правоинвариантной меры. Видать, преподаватель ошибся, когда предложил рассмотреть этот пуллбэк (то определение через интеграл, что я привёл, на самом деле описывает правоинвариантную меру)

А настоящая левоинвариантная, видать, определяется так:

\[\forall g \in G,\quad \int_G f(xg) d \mu(x) = \int_G f(x) d \mu(x)\]

Соответственно, в пуллбэке не левый сдвиг, а правый

Про то, что Вы предложили -- если оба варианта верны, то они должны отличаться в константное число раз. Меня интересует, правильно ли то, что предложил я.

Хотя... в учебнике, вроде бы, исходный вариант... Ладно, давайте исходного придерживаться

[vpb]

Да нет, вроде не ошибся Ваш препод... Можете подумать над такой мыслью: правый сдвиг левоинвариантной меры тоже левоинвариантен (а левый с ней самой совпадает).

[npetric]

Ну вот, допустим, есть группа: $x \in G, x = \begin{bmatrix} a & b\\ 0& 1\end{bmatrix}, a,b \in \mathbb{R}$

Возьмём дифференциальную форму в единице $da \wedge db$, $g^{-1} = \begin{bmatrix}g_1& g_2\\ 0& 1\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} g_1^{-1}& - g_2 g_1^{-1}\\0 & 1\end{bmatrix}$

$L_{g^{-1}}^* da = d(g_1^{-1} a - g_2 g_1^{-1}b) = g_1^{-1} da + \ldots db$
$L_{g^{-1}}^* db = db$
$L_{g^{-1}}^*(da \wedge db) = g_1^{-1} da \wedge db$

Получается, левоинвариантная это $|a^{-1}| da \wedge db$, а это везде правоинвариантной называется. Теперь понимаю, что определение через интеграл действительно левоинвариантную определяет, и пуллбэк из первого сообщения действительно должен её задавать, но не понимаю, где я ошибся.

[vpb]

npetric в сообщении #1363101 писал(а):

а это везде правоинвариантной называется

Так она и есть правоинвариантная... Вы, извиняюсь, $g^{-1}$ на $x$ неправильно умножили (точнее, вообще результат не написали), и от этого прообраз (так он по-русски называется, а еще говорят "перенос") $db$ неправильно посчитался.

[npetric]

vpb в сообщении #1363106 писал(а):

Вы, извиняюсь, $g^{-1}$ на $x$ неправильно умножили

Спасибо. Действительно, упячка вышла. Теперь разобрался

[vpb]

(Оффтоп)

npetric в сообщении #1363111 писал(а):

Действительно, упячка вышла

Ну вот, и я новое слово узнал... Век живи --- век учись!

Полезно еще мыслить это геометрически. Что такое наша группа ? Это полуплоскость $a>0$ в плоскости $Oab$ (берем только связную компоненту, в которой лежит единица). На ней есть обычная мера, т.е. площадь. Умножение на $g$ справа действует так, что площадь любой фигуры помножается на $g_1$, а слева --- на $g_1^2$. Значит, площадь не инвариантна, вообще говоря. Но если в окрестности каждой точки площадь умножить на подходящее число, то такая "площадь" уже может быть инвариантной, относительно левых сдвигов. Вот и надо этот зависящий от точки множитель найти (что Вы, собственно, уже и сделали. А пишу я это, так сказать, для развития у Вас пространственного воображения).