2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение 10 последовательных натуральных чисел
Сообщение22.12.2018, 11:53 
Аватара пользователя


01/12/11
8329
Докажите, что произведение 10 последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение 10 последовательных натуральных чисел
Сообщение22.12.2018, 20:38 


06/06/18
9
Среди этих 10-и чисел не может быть чисел, которые делятся на 11 и выше, иначе такое число будет только одно и произведение точно не будет точным квадратом. Значит они делятся только на 2, 3, 5 и 7. Среди чисел до 11 такое произведение всего одно($10!$) и оно не является точным квадратом(7-ка всего одна). Среди чисел больших 10 делителей 5 и 7 должно быть ровно 2+2 штуки(причём это может быть одновременно в одном числе, 35, например, я так понимаю). Значит произведение представимо в виде $2^a 3^b c^2$. Дальше не придумал пока, видимо надо доказывать, что такой комбинации не существует...

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение 10 последовательных натуральных чисел
Сообщение22.12.2018, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6099
JohnnyIpcom в сообщении #1363163 писал(а):
Среди этих 10-и чисел не может быть чисел, которые делятся на 11 и выше, иначе такое число будет только одно
121?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение 10 последовательных натуральных чисел
Сообщение22.12.2018, 20:50 


06/06/18
9
Да, уговорили. Может быть полный квадрат(четвёртая, шестая степень и так далее) простого числа... Или даже комбинация, например 121 * 169... Но такое число среди 10-и всё равно будет только одно и произведение всё равно должно вписываться в $2^a 3^b c^2$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение 10 последовательных натуральных чисел
Сообщение23.12.2018, 00:27 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Родственная задача

(Спойлер!)

Используя
JohnDou в сообщении #1359873 писал(а):
Между простым $p$ и $2p$ всегда найдется хотя бы одно простое.

можно показать что произведение любых $k>1$ последовательных натуральных чисел не может быть степенью старше 1

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение 10 последовательных натуральных чисел
Сообщение23.12.2018, 09:36 


26/08/11
1779
Если произведение этих чисел - квадрат, то среди них найдутся либо два квадрата, либо два удвоенные квадрата, либо два утроенные квадрата. А неравенство $m^2-n^2<10$, тем более $2m^2-2n^2<10$ и т.д в натуральных числах ограничено.
Если некоторое число взаимнопростое и с 3, и с 5, и с 7, то оно должно быть либо квадрат, либо удвоенный квадрат.
Если таких чисел три, то два из них будут одного вида. Допустим, таких чисел только два - одно квадрат, другое - удвоенный квадрат. Это возможно только если ровно четыре из чисел делятся на 3, другие две делятся на 5 и другие две делятся на 7. (остальные две квадрат и удвоенный квадрат). Рассмотрим те, которые делятся на 3. Среди них ровно две - нечетные. Взаимнопростые и с 2, и с 5, и с 7. Они могут быть либо квадрат, либо утроенный квадрат...

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение 10 последовательных натуральных чисел
Сообщение23.12.2018, 11:01 


01/11/14
373
Ktina в сообщении #1363069 писал(а):
Докажите, что произведение 10 последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом.
Ktina
Вот в этой статье - обобщение Вашей задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение 10 последовательных натуральных чисел
Сообщение23.12.2018, 13:17 


05/09/16
5838
Gagarin1968 в сообщении #1363246 писал(а):
Вот в этой статье
- обобщение Вашей задачи.

Насколько я понимаю, Эрдёш и Селфридж показали ( https://projecteuclid.org/download/pdf_ ... 1256050816 ) что произведение двух и более последовательных натуральных чисел не может быть целой степенью больше первой. Просто, видимо, какие-то частные случаи по силам пятиклассникам, а какие-то нет, вот ТС и выкладывает те, которые для пятиклассников.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение 10 последовательных натуральных чисел
Сообщение23.12.2018, 23:02 
Аватара пользователя


01/12/11
8329
Gagarin1968 в сообщении #1363246 писал(а):
Ktina в сообщении #1363069 писал(а):
Докажите, что произведение 10 последовательных натуральных чисел не может быть точным квадратом.
Ktina
Вот в этой статье - обобщение Вашей задачи.

Отдельное Вам спасибо! У меня было предчувствие, что у этой задачи есть обобщение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group