Род поверхности и критерий расположения фигуры на ней

[gogoshik]

Прошу, плиз, проверить и если что помочь разобраться с критерием реализуемости (расположения без самопересечений) фигуры на поверхности рода $g$.

В принципе хотелось бы разобраться в записях преподавателя с занятий. Вот фото доски, где видно как он выводит критерий реализуемости через род $g$ (под скобкой системы). Но не понятно, почему так?



Для себя я придумал такое объяснение. Пусть фигура $H$ реализуется на поверхности $Q$, допустим на $T^2$. Вырезание $H$ по границе разбивает $T^2$. Понятно, что после вырезания $H$ мы получим тор с дыркой, которую мы можем заклеить диском $D^2$. Таким образом фигура $H$ будет топологически эквивалентна $D^2$. Известно что род $g(D^2) = 1$. Следовательно род фигуры должен быть $g(H) \leqslant 1$.

Правильно ли?

[gogoshik]

gogoshik в сообщении #1363028 писал(а):

Таким образом фигура $H$ будет топологически эквивалентна $D^2$. Известно что род $g(D^2) = 1$. Следовательно род фигуры должен быть $g(H) \leqslant 1$.

Ой. Здесь я грубо ошибся.

В общем так. После вырезания $H$ мы получим тор с дыркой, которую мы можем заклеить диском $D^2$. Следовательно род $g(T^2)= g(T^2 \setminus H) \# g(D^2) = 1$. Известно, что род $g(D^2) = 0$. Тогда $g(H) \leqslant 1$. Не знаю, может как-то так?

[gogoshik]

Еще раз прошу пожалуйста помочь разобраться с темой, которая мне не очень понятна. Продвижений особых нет.

Я хочу найти род фигуры (диска с ленточками). Родом диска с ленточками будем называть род компактной поверхности, получаемой заклеиванием кругом $D^2$ каждой компоненты края диска с ленточками.

Понятно, что если ленточки не пересекаются, то диск с $n$ ленточками имеет $n + 1$ компонент края или граничных компонент. Если мы заклеим кругом каждую компоненту, то мы получим сферу $S^2$. Тогда род диска с ленточками равен $g(S^2)$, т.е. нулю. Примерно об этом написано у Болтянского и Ефремовича.

Но что получается в случае, если некоторые или все ленточки пересекаются? Как такие ленточки должны заклеиваться кругом?

ps. Как бы понятно, что если дана фигура без самопересечений, то каждую компоненту края мы сможем заклеить кругом и получить таким образом сферу. То есть данная фигура вполне без самопересечений может быть расположена на сфере. Но если фигура имеет самопересечения, то чтобы избавиться от них мы должны выбирать поверхность большего рода, так как каждое пересечение устраняется добавлением ручки.