Сходимость ряда

[coooper]

Исследовать на сходимость.
$x_n=\tg{1}+\tg{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\dots+\tg{\frac{1}{\sqrt{n}}}$

Предполагаю, что последовательность расходится.

$\exists \varepsilon>0 \; \forall N_{\varepsilon} \in {\mathbb{N}}: \; \exists (n \in \mathbb{N})>N, \, \exists p \in {\mathbb {N}}$
$|\tg{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}+\dots+\tg{\frac{1}{\sqrt{n+p}}}| \geq\varepsilon$

Q: Чем модуль оценить?

[mihaild]

Отдельно $\tg$ оцените чем-нибудь снизу (и про знак не забудьте).

[coooper]

mihaild,
например, $|\tg{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}+\dots+\tg{\frac{1}{\sqrt{n+p}}}|\geq \frac{1}{\sqrt{n+1}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{n+p}}>\frac{p}{\sqrt{n+p}}>\frac{p}{n+p}>\varepsilon$ $\Rightarrow if \; n=p, |\tg{\frac{1}{\sqrt{n+1}}}+\dots+\tg{\frac{1}{\sqrt{n+p}}}|>\varepsilon=\frac{1}{2}$
?

[Igrickiy(senior)]

coooper в сообщении #1363011 писал(а):

Исследовать на сходимость.
$x_n=\tg{1}+\tg{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\dots+\tg{\frac{1}{\sqrt{n}}}$

Мне кажется, что самое рациональное после оценки каждого тангенса применить интегральный признак Маклорена-Коши:
$x_n=\tg{1}+\tg{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\dots+\tg{\frac{1}{\sqrt{n}}}>1+{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\dots+{\frac{1}{\sqrt{n}}}$
Первообразная от $\frac{1}{\sqrt{x}}$ на бесконечности стремится к бесконечности.
Ряд расходится.