2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Построение резольвенты
Сообщение21.12.2018, 03:12 
Аватара пользователя


21/12/18
3
Имеется ядро интегрального оператора $K(s,t)=e^s+e^t$ на отрезке $[0,1]$.

Надо построить резольвенту Фредгольма тремя способами: через ряд Неймана, через ряд Фредгольма и как для вырожденного ядра.

Считаем.

$K_1(s,t)=e^s+e^t$

$K_2(s,t)=\int\limits_{0}^{1}K(s,t_1)K_1(t_1,t)dt_1=\int\limits_{0}^{1}(e^s+e^{t_1})(e^{t_1}+e^t)dt_1=$ $e^{s+t}+(e-1)e^{s}+(e-1)e^{t}+1/2(e^2-1)$

$K_3(s,t)=\int\limits_{0}^{1}K(s,t_1)K_2(t_1,t)dt_1=\int\limits_{0}^{1}(e^s+e^{t_1})(e^{t_1+t}+(e-1)e^{t_1}+(e-1)e^{t}+1/2(e^2-1))dt_1=(e^s-1+e)(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))$

$K_4(s,t)=\int\limits_{0}^{1}K(s,t_1)K_3(t_1,t)dt_1=\int\limits_{0}^{1}(e^s+e^{t_1})(e^{t_1}-1+e)(e^{t_1+t}+(e-1)e^{t_1}+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))dt_1=(e^s-1+e)^2(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))$

$K_5(s,t)=\int\limits_{0}^{1}K(s,t_1)K_4(t_1,t)dt_1=\int\limits_{0}^{1}(e^s+e^{t_1})(e^{t_1}-1+e)^2(e^{t_1+t}+(e-1)e^{t_1}+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))dt_1=(e^s-1+e)^3(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))$

Получается что $K_n(s,t)=(e^s-1+e)^{n-2}(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))$, верно?

И как дальше делать? Еще не понял откуда и как берутся $\lambda$ :-( :?: :?: :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение резольвенты
Сообщение21.12.2018, 03:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
cver4ok в сообщении #1362819 писал(а):
И как дальше делать? Еще не понял откуда и как берутся $\lambda$

Читать определения. Откуда вообще взялась резольвента и для чего она нужна? Кто такой этот интегральный оператор и как он выглядит?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение резольвенты
Сообщение21.12.2018, 16:02 
Аватара пользователя


21/12/18
3
$R(x,t,\lambda)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda^{n-1}K_n(x,t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))\lambda^{n-1}(e^s-1+e)^{n-2}=(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1))\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda^{n-1}(e^s-1+e)^{n-2}=(e^{s+t}+(e-1)e^s+(e-1)e^t+1/2(e^2-1)) \frac{(1-\lambda)(e^s-2+e)}{\lambda^2(e^s-1+e)^2}$

Так верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение резольвенты
Сообщение21.12.2018, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Если отбросить опечатки в обозначениях аргументов, то непонятно, куда Вы дели сумму ряда? Или я просто не вижу в Вашем ответе суммы геометрической прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение резольвенты
Сообщение21.12.2018, 17:05 
Аватара пользователя


21/12/18
3
thething, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda^{n-1}(e^s-1+e)^{n-2} = \frac{(1-\lambda)(e^s-2+e)}{\lambda^2(e^s-1+e)^2}$, разве нет?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: sergey zhukov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group