Преобразование окружности в лемнискату?

[Борис Лейкин]

Можно как-нибудь по-быстрому найти преобразование окружности в лемнискату, а потом этим преобразованием преобразовать лемнискату, кроме как подставлять преобразования в уравнение окружности и приравнивать коэффициенты?
$t: C \to L$
$C = x^2+y^2-1$
$L = (x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)$

$t= \left\{ \begin{array}{l} x \to a_0 + a_1 x + a_2 y + a_3 x y + a_4 x^2 + a_5 y^2,\\ y \to b_0 + b_1 x + b_2 y + b_3 x y + b_4 x^2 + b_5 y^2 \end{array} \right. $

Вот так ведь нельзя, да?
$t(C)=L=(C+1)^2-C(x,y \mathbb{I})$

[antbez]

Наверное, проще преобразовать в полярных координатах

[Brukvalub]

Я не уверен, что такое возможно и не по-быстрому, поскольку у этих кривых разная топология - на лемнискате есть двойная точка, а на окружности - нет.

[Борис Лейкин]

antbez
Мда. Всё просто.

$t= \left\{ \begin{array}{l} r \to \sqrt{r^2-\cos{2\theta}+1},\\ \theta \to \theta \end{array} \right. $

$t= \left\{ \begin{array}{l} x \to \frac{x \sqrt{2 y^2+\left(x^2+y^2\right)^2}}{x^2+y^2},\\ y \to \frac{y \sqrt{2 y^2+\left(x^2+y^2\right)^2}}{x^2+y^2} \end{array} \right. $

А я почему-то думал, что преобразования квадратные.



Гипербола


Прямая.


Кубика.


Весело.

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

Brukvalub
Вот, я как раз читал книгу по топологии, и там говорилось про такое преобразование, решил найти.

[Brukvalub]

Борис Лейкин писал(а):

Можно как-нибудь по-быстрому найти преобразование окружности в лемнискату, а потом этим преобразованием преобразовать лемнискату

Вот эти слова меня смутили. Я понял так, что Вы хотите получить обратное преобразование лемнискаты в окружность. Теперь я понимаю, что понял Вас превратно.