2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Размерность пространства решений СЛАУ
Сообщение19.12.2018, 00:28 


05/07/17
6
Имеется однородная СЛАУ 5-го порядка с матрицей
$$ A=\begin{pmatrix}
2 & 3 & b+2 & 8 & 3 \\
-1 & 3 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 4-a & 3 & 9 & 4 \\
2 & 2 & 1 & 5 & 3 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 6
\end{pmatrix} $$
Необходимо определить параметры $a$ и $b$, при которых размерность пространства решений данной СЛАУ будет максимальна. Это равносильно тому, что ранг матрицы будет минимален. Методом окаймляющих миноров я показал, что $\mathrm{rang}\,A\geqslant4$. Нам нужен минимальный ранг, $\mathrm{rang}\,A=4$, следовательно, единственный минор пятого порядка (определитель матрицы) должен быть равен нулю.
$$\det A=\begin{vmatrix}
2 & 3 & b+2 & 8 & 3 \\
-1 & 3 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 4-a & 3 & 9 & 4 \\
2 & 2 & 1 & 5 & 3 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 6
\end{vmatrix}=30(a+1)b=0$$
Откуда $a=-1$, $b\in\mathbb{R}$ или $b=0$, $a\in\mathbb{R}$. Упускаю ли я что-то, или ответ всё же правильный? В этой задаче в ответ необходимо было указать $a+b$. Насколько я понимаю, это невозможно, но в ответе я указал пересечение решений $a=-1$, $b=0$, $a+b=-1$. Оказалось, неправильно. Или требовать в ответ $a+b$ некорректно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства решений СЛАУ
Сообщение19.12.2018, 07:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
А вдруг просто определитель неправильно нашли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства решений СЛАУ
Сообщение19.12.2018, 11:34 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
TOTAL в сообщении #1362351 писал(а):
А вдруг просто определитель неправильно нашли?
Нет, он действительно такой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства решений СЛАУ
Сообщение19.12.2018, 23:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
RichPeach в сообщении #1362318 писал(а):
$$\det A=\begin{vmatrix}
2 & 3 & b+2 & 8 & 3 \\
-1 & 3 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 4-a & 3 & 9 & 4 \\
2 & 2 & 1 & 5 & 3 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 6
\end{vmatrix}=30(a+1)b$$
Вычисляя определитель, можно элементарными преобразованиями (не меняющими ранг) привести матрицу $A$ к матрице
$B=\begin{bmatrix}a+1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & b & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
И каков минимальный ранг $B$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства решений СЛАУ
Сообщение20.12.2018, 07:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5493
Нов-ск
svv в сообщении #1362573 писал(а):
RichPeach в сообщении #1362318 писал(а):
$$\det A=\begin{vmatrix}
2 & 3 & b+2 & 8 & 3 \\
-1 & 3 & 1 & 4 & 1 \\
1 & 4-a & 3 & 9 & 4 \\
2 & 2 & 1 & 5 & 3 \\
4 & 2 & 0 & 4 & 6
\end{vmatrix}=30(a+1)b$$
Вычисляя определитель, можно элементарными преобразованиями (не меняющими ранг) привести матрицу $A$ к матрице
$B=\begin{bmatrix}a+1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & b & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
И каков минимальный ранг $B$ ?


При $a+1=0$ вычеркиваем первую строку и первый столбец

$$\det A=\begin{vmatrix}
 3 & 1 & 4 & 1 \\
 5 & 3 & 9 & 4 \\
 2 & 1 & 5 & 3 \\
 2 & 0 & 4 & 6
\end{vmatrix}=28$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства решений СЛАУ
Сообщение20.12.2018, 17:07 


05/07/17
6
Согласен с TOTAL, но ответа $a+b=-1$ (который почему-то оказался неправильным) это не меняет. svv, Вы преобразовывали матрицу построчно? Как понимаете, это важный момент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства решений СЛАУ
Сообщение20.12.2018, 17:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Вы правы, я ошибся. Можно преобразовать лишь к виду
$B=\begin{bmatrix}a+1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & b & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$
Единичка (элемент $b_{12}$) не влияет на определитель, но влияет на минимальный ранг.

-- Чт дек 20, 2018 16:35:59 --

RichPeach в сообщении #1362717 писал(а):
который почему-то оказался неправильным
Вы получили, что минимальный ранг 4 достигается при выполнении любого из условий $a+1=0, b=0$, при этом $a+b$ можно сделать любым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства решений СЛАУ
Сообщение20.12.2018, 21:53 


05/07/17
6
Да, я как раз об этом и написал в своём вопросе. В этом и проблема. В ответ должно было пойти обязательно конкретное число, вводимое с клавиатуры. Отсюда вопрос: корректно ли составлена задача, то есть форма ответа? Требуют конкретного ответа, который получить невозможно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Размерность пространства решений СЛАУ
Сообщение21.12.2018, 04:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Ответ, который Вы предложили, $-1$, во всяком случае не хуже любого другого вещественного числа. Но система его забраковала. Это показывает, что задача + требования к вводу ответа + система ввода и проверки ответа — всё это вместе некорректно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group