2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение16.12.2018, 13:31 
Аватара пользователя


29/11/16
177
Лекция 33, секция 33-6: http://www.feynmanlectures.caltech.edu/ ... ml#Ch33-S6
Перевод Гугла: https://translate.googleusercontent.com ... /I_33.html

Изображение

Исходя из закона сохранения энергии, Фейнман приводит формулу 33.4:
$\frac{1-|B|^2}{1-|b|^2}=\frac{|A|^2}{|a|^2}

Однако есть еще 2 варианта формулы, которые не являются тождественными:
$\frac{1}{1}=\frac{|A|^2 + |B|^2}{|a|^2 + |b|^2}
$\frac{1 - |A|^2}{1 - |a|^2}=\frac{|B|^2}{|b|^2}

Вопрос : почему Фейнман выбрал 1-й вариант?

Фейнман выводит формулы интенсивности отраженного излучения 33.6, 33.7:
$|b|^2=\frac{\sin^2\,(i-r)}{\sin^2\,(i+r)}$
$|B|^2=\frac{\tan^2\,(i-r)}{\tan^2\,(i+r)}$.
После этих формул следует абзац, в котором Фейнман говорит: чтобы доказать , что $b$ действительно, нужно рассмотреть случай одновременного входа света с двух сторон поверхности стекла; чтобы определить знак, нужно рассмотреть тонкий слой стекла.
Этот абзац вообще не понятен. Как $b$ может быть комплексным, если квадрат дает действительное число?

Если рассмотреть случай входа луча со стороны стекла PNG, то формула 33.2, запишется в другом виде:
$\frac{A \cos\,(2r)}{a}=\frac{-1}{-1}$,
дальнейший вывод будет другим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение19.12.2018, 08:31 
Аватара пользователя


29/11/16
177
Привожу русскую версию секции 33-6 издания 1965г.:
PNG

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение19.12.2018, 09:57 
Заслуженный участник


28/12/12
5902
Uchitel'_istorii в сообщении #1361670 писал(а):
Однако есть еще 2 варианта формулы, которые не являются тождественными

Таки являются. Все они сводятся к переупорядочиванию членов в равенствах
$\begin{array}{l}
|A|^2+|B|^2=1\\
|a|^2+|b|^2=1
\end{array}$
и делению одного на другое.

Uchitel'_istorii в сообщении #1361670 писал(а):
Как $b$ может быть комплексным, если квадрат дает действительное число?

Не просто квадрат, но квадрат модуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение21.12.2018, 09:47 
Аватара пользователя


29/11/16
177
Цитата:
Не просто квадрат, но квадрат модуля.

Так а зачем он дописал модуль? Энергия поля пропорциональна квадрату амплитуды, а не квадрату модуля амплитуды по формуле (31.28).

Хорошо. Берем случай с 2-мя лучами: PNG.
$a \text{, } b$ - амплитуды поля , поляризованного перпендикулярно чертежу;
$A \text{, } B$ - амплитуды поля , поляризованного в плоскости чертежа.
По чертежу можно записать следующие формулы, предполагая, что волны $a, b, A, B, -1, -1$ -- генерируются электронами в стекле:
$-1\cdot \text{const} = 1 + a$
$-1\cdot \text{const} = 1 + A\cos (2r)$
$b\cdot \text{const} = 1 + a$
$B\cdot \text{const} = 1 \cos(i-r) + A\cos(i+r)$
$-1\cdot \text{const} = 1 \cos(i+r) + A\cos(i-r)$

Или надо как-то посчитать суперпозицию всех полей в точке, где сходятся все лучи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение21.12.2018, 10:56 
Заслуженный участник


28/12/12
5902
Uchitel'_istorii в сообщении #1362865 писал(а):
Или надо как-то посчитать суперпозицию всех полей в точке, где сходятся все лучи?

Хорошо бы написать по-человечески: электрическое поле обозначить $E$, магнитное $B$ или $H$ с соответствующими индексами. И не лепить два случая на одну картинку, но разнести.
После чего написать граничные условия для электрического и магнитного поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение21.12.2018, 16:37 
Аватара пользователя


29/11/16
177
Электродинамика еще не давалась. Всё что есть, это уравнение (28.3):
$\mathbf{E}=\frac{-q}{4\pi\epsilon_0}\biggl[
\frac{\mathbf{e}_{r'}}{r'^2}+\frac{r'}{c}\,\frac{d}{dt}\biggl(
\frac{\mathbf{e}_{r'}}{r'^2}\biggr)+\frac{1}{c^2}\,\frac{d^2}{dt^2}\,\mathbf{e}_{r'}
\biggr]
, из которого выводится уравнение (29.1):
$\mathbf{E}=\frac{-q\mathbf{a}}{4\pi\epsilon_0 c^2r}$.

В свою очередь по формуле (31.16) ускорение $\mathbf{a}$ заряда $ q_e$ под воздействием внешнего поля $\mathbf{E_{ext}}$ будет равно
$\mathbf{a}=\frac{-\omega^2 q_e\mathbf{E_{ext}}}{m(\omega_0^2-\omega^2)}$.

Также Фейнман вывел формулу (31.17) для поля от тонкой пластины стекла:
$E_a=-\frac{\eta q_e}{2\epsilon_0 c}[
i\omega\,\frac{q_eE_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\,
e^{i\omega(t-z/c)}].
Иными словами $\mathbf{E_{glass}}(t)\sim - \mathbf{E_{ext}} (t+\pi/2)$.
Но это, как мне кажется, не объясняет минус формулы $b=-\frac{\sin\,(i-r)}{\sin\,(i+r)}$, т.к. есть разность фаз. Т.е. если $E_{ext} (t_0) > 0$, то и $E_{glass} (t_0) > 0$.

Цитата:
И не лепить два случая на одну картинку
Разнес:PNG
Важно , что нужный результат надо получить посредством тех же рассуждений , что в лекции 33.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение23.12.2018, 18:52 
Аватара пользователя


29/11/16
177
Пытаюсь вывести формулу через граничные условия, но ничего не получается.
Изображение
Из левого чертежа записываю граничные условия (из правого их невозможно записать):
$\begin{cases}
E_{0v} + E_v = E_g\\
B_{0v}\sin(i) + B_v\sin(i) = B_g\sin(r)
\end{cases}

$B = En/c = \frac{\sin(i)}{\sin(r)}\frac{E}{c}$

$\begin{cases}
1 + \frac{E_v}{E_{0v}} = \frac{E_g}{E_{0v}}\\
\sin(i) +  \frac{E_v}{E_{0v}}\sin(i) = \frac{\sin(i)}{\sin(r)} \frac{E_g}{E_{0v}}\sin(r)
\end{cases}

В итоге получается система 2-х тождественных уравнений. Где ошибка?
В статьях , тапа PDF PDF почему-то берут проекции магнитного поля на плоскость раздела сред, тогда как надо брать проекции на нормаль.

Также неясно, в какую сторону надо направлять вектор $\mathbf{E}_v$ на правом чертеже. У Фейнмана на доске он направлен вправо . Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение24.12.2018, 08:26 
Заслуженный участник


28/12/12
5902
Uchitel'_istorii в сообщении #1363305 писал(а):
из правого их невозможно записать

Почему?

Uchitel'_istorii в сообщении #1363305 писал(а):
В итоге получается система 2-х тождественных уравнений. Где ошибка?

Ошибки нет, просто нужно еще третье граничное условие записать: непрерывность тангенциальной компоненты $\mathbf{H}$ (или $\mathbf{B}$, если, как обычно бывает, $\mu=1$).

На правом рисунке, соответственно, будет два "электрических" граничных условия: непрерывность тангенциальной компоненты $\mathbf{E}$ и нормальной компоненты $\mathbf{D}$.

-- 24.12.2018, 12:29 --

Uchitel'_istorii в сообщении #1363305 писал(а):
Также неясно, в какую сторону надо направлять вектор $\mathbf{E}_v$ на правом чертеже. У Фейнмана на доске
он направлен вправо . Почему?

Направлять можно в любую. Если направление выбрано "неверно", в конце получится $E_v<0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение24.12.2018, 15:25 
Аватара пользователя


31/10/08
1137
Uchitel'_istorii
Лучше возьмите. Ландсберг оптика учебное пособие:для вузов. 6-е издание 2003

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение25.12.2018, 19:05 
Аватара пользователя


29/11/16
177
Согласно Фейнману:
$|a|^2 = 1 - |b|^2 = 1 - \frac{\sin^2(i-r)}{\sin^2(i+r)} = \frac{4\sin(i)\sin(r)\cos(i)\cos(r)}{\sin^2(i+r)} = \frac{\sin(2i)\sin(2r)}{\sin^2(i+r)}$
Согласно Ландсберга png:
$t_\perp = \frac{2\sin(\psi)\cos(\phi)}{\sin(\phi+\psi)}$
, что в переводе на символы Фейнмана означает:
$a = \frac{2\sin(r)\cos(i)}{\sin(i+r)}$

Не совпадает. Почему?
Думал, что эти сторонние авторы дадут информацию, с которой станет понятна лекция 33. Однако они совершенно иначе — через магнитное поле — вывели формулы Френеля (более того, всплыла куча нестыковок). Фейнман вообще не касался магнитного поля. Формулы с магнитным полем не доказаны и я их считаю не верными , пока Фейнман не объяснит сам в своих лекциях, а это будет в следующем томе, поэтому не вариант.

UPD. Похоже, закон $|a|^2 + |b|^2 = 1$ -- не верный: нужно домножить квадрат амплитуды на площадь луча и показатель преломления . Неясно, почему тут вылезает показатель , ибо у Фейнмана показателя нет .

UPD. Из симметрии площадь отраженного луча равна площади падающего, но площадь преломленного составит $ \cos(r) / \cos(i)$ площади падающего. Т.е. правильная формула $n\frac{\cos(r) }{ \cos(i)}|a|^2 + |b|^2 = 1$. Отсюда понятно, почему Фейнман выбрал совершенно конкретный вариант этой формулы и разделил. Т.е. да, формулы таки не тождественные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение26.12.2018, 23:14 
Аватара пользователя


29/11/16
177
Ландсберг утверждает , что при движении луча из стекла в воздух, формулы Френеля не изменяются. В символах Фейнмана они запишутся так:
$
a=\frac{2\sin\,(r)\cos\,(i)}{\sin\,(i+r)},\quad
b=-\frac{\sin\,(i-r)}{\sin\,(i+r)},\quad
A=\frac{2\sin\,(r)\cos\,(i)}{\sin\,(i+r)\cos\,(i-r)},\quad
B=-\frac{\tan\,(i-r)}{\tan\,(i+r)},
$
где
$a$ -- амплитуда преломленной волны, поляризация перпендикулярно плоскости лучей;
$b$ -- амплитуда отраженной волны, поляризация перпендикулярно плоскости лучей;
$A$ -- амплитуда преломленной волны, поляризация параллельно плоскости лучей;
$B$ -- амплитуда отраженной волны, поляризация параллельно плоскости лучей;
$i$ -- угол падения (отражения);
$r$ -- угол преломления.

Отсюда
$
\frac{a}{A} = \cos(i-r),\quad
\frac{b}{B} = \frac{\cos(i-r)}{\cos(i+r)}.
$

Когда начальный луч шел из воздуха в стекло , Фейнман отметил, что луч в стекле (преломленный) генерирует волну амплитудой $-1$, и записал формулу:
$\frac{A \cos\,(i - r)}{a}=\frac{-1}{-1}$.
Т.е. $\frac{a}{A}$ совпало с Ландсбергом.

Однако при движении луча из стекла в воздух, отношение амплитуд не совпадает с Ландсбергом. Получается , если отраженный обратно в стекло луч $b$ генерирует поле $-1$, то должно быть так:
$\frac{B \cos\,(2i)}{b}=\frac{-1}{-1}$.
Фейнман ошибиться не мог. В чем загвоздка тогда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение27.12.2018, 05:56 
Аватара пользователя


31/10/08
1137
Uchitel'_istorii в сообщении #1363701 писал(а):
Формулы с магнитным полем не доказаны и я их считаю не верными

А то что Фейнман всё наврал. Не вариант?
Фейман вводи не существующий луч и говорит, что его амплитуда $-1$. С какого бодуна?
Если луч не существует, то разумно что его амплитуда будет $0$.
Но физика нам этого сделать запрещает электрическое поле на границе вакуум стекло должно быть однозначным. $1\neq0$ Потому он прибегает к трюку он вводит $-1$ и проставляет во всех формулах модули.
Но это нарушает физику, да и математику. Во-первых мы при помощи глаза или фото пластинки регистрируем квадрат амплитуды, а значит мы должны были-бы наблюдать этот луч, но его мы не наблюдаем. Во-вторых почему мы не рассматриваем другие несуществующие лучи?
К примеру $+1°$ от него. Или если продлить лучи идущий в стекле. Он же тоже не видим.

Эта ложь и она трудно доказуема. Особенно когда он честно признался, что это трюк.

Поэтому я и сослался на Ландсберга, так как считаю что у него выкладки сделаны правильно.

Uchitel'_istorii в сообщении #1363713 писал(а):
UPD. Похоже, закон $|a|^2 + |b|^2 = 1$ -- не верный: нужно домножить квадрат амплитуды на площадь луча и показатель преломления . Неясно, почему тут вылезает показатель , ибо у Фейнмана
показателя нет .

Нельзя просто так взять и выдумать формулу. Формула должна исходить из закона. В данном случае закон сохранения энергии.
Так что тут всё верно.
В данном расчёте у луча нет площади. Показатель преломления уже входит в амплитуды, иначе у вас не сойдётся решение для полного отражения или пропускания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение27.12.2018, 10:22 
Аватара пользователя


29/11/16
177
Pavia в сообщении #1363945 писал(а):
Фейман вводи не существующий луч и говорит, что его амплитуда $-1$. С какого бодуна?

В лекции 31 Фейнман показал (уравнение (31.8)), что поле после пластинки стекла = поле источника + поле от зарядов стекла. Т.е. поле источника никуда не исчезает, но если оно не наблюдается, то должно быть сгенерировано поле, которое гасит первое.

Цитата:
Так что тут всё верно.

Не понял. Формула $|a|^2 + |b|^2 = 1$ -- верная?

Но если подставить значения $a$, $b$ из Ландсберга , то не сходится.

У Фейнмана , исходя из формул (31.28) , (32.1), (32.18), интенсивность (облученность) определяется по формуле:
$S =\varepsilon _0 c\langle E^2\rangle = \frac{1}{2}\varepsilon _0 c E_0^2 $.
Эта формула честно выведена, поэтому оснований не доверять нет.
Однако в других источниках формула выглядит так:
$S = \frac{1}{2}v\varepsilon |E|^2 = \frac{1}{2}cn\varepsilon _0 |E|^2$.

Если проследить вывод до формулы (30.16), то там $c$ -- относится к задержке из-за удаленности осциллирующего заряда от точки измерения поля. Т.е. можно написать $v$ и тогда в формуле (30.19) будет $\frac{v}{c^2} = \frac{1}{nc}$. Хотя не уверен, возможно вывод верный только для вакуума и для очень больших расстояний до осциллирующих зарядов (Фейнман об этом предостерегал).

У Ландсберга тоже есть интенсивность PNG, но написано с ошибками,
напр. по логике должно быть $I_r = \frac{cn_1}{8\pi}[E_{r\perp}^2 +E_{r\parallel}^2]\cos(\varphi)$,
также размерность не совпадает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение07.01.2019, 21:03 
Аватара пользователя


29/11/16
177
В общем для случая движения из стекла в вакуум если считать , что отраженный в стекло луч $b$ генерирует луч $-1$, то вывести формулы Френеля невозможно. Луч $-1$ в любом случае генерируется преломленным лучем $a$.

Теперь вопрос, как доказать , что $b$ -- вещественное.
Я так понимаю, что начальный луч можно представить как :
$1e^{i\omega t}$
преломленный:
$a = a_0 e^{i\Delta_a}e^{i\omega t}$
отраженный:
$b=b_0 e^{i\Delta_b}e^{i\omega t}$.

И надо доказать, что фаза отраженного и преломленного лучей отличается от фазы начального луча на целое число полупериодов:
$\Delta_a = n\pi  $
$\Delta_b = m\pi$
$n , m \in \mathbb {Z}$


Но неясно , что подразумевает Фейнман под приходом лучей одновременно с двух сторон поверхности. Может надо как-то отразить один из лучей и рассмотреть интерференцию. Но тогда можно найти разность $\Delta_a - \Delta_b$, а нужно каждую фазу по отдельности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интенсивность отраженного света. ФЛФ. Лекция 33
Сообщение19.01.2019, 13:59 
Аватара пользователя


29/11/16
177
Изображение
Исходя из рисунка 31-2 можно сделать вывод, что $\Delta_a = 0$, т.е. фаза преломленного луча совпадает с фазой начального.


Рассматриваю отражение от пластины PNG.
$\Delta_b$ -- разность фаз вследствие отражения от наружной поверхности стекла;
$\Delta_{b'}$ -- разность фаз вследствие отражения от внутренней поверхности стекла;
$\theta$ -- разность фаз вследствие разности хода лучей;
индекс $0$ означает действительное число.

При нулевой толщине пластины имеем систему:
$
\begin{cases}
\frac{a_0a'_0}{1-b'_0^2e^{i2\Delta_{b'}}e^{i\theta}} = 1 \\
b_0e^{i\Delta_b} + \frac{a_0a'_0b'_0e^{i\Delta_{b'}}e^{i\theta}}{1-b'_0^2e^{i2\Delta_{b'}}e^{i\theta}} = 0 \\
\theta = 0
\end{cases}
$

$
\begin{cases}
b_0e^{i\Delta_b} =b'_0e^{i(\Delta_{b'} + \theta + \pi)} \\
\theta = 0
\end{cases}
$

Получаем:
$
\begin{cases}
b_0  =b'_0 \\
\Delta_b = \Delta_{b'} + \pi
\end{cases}
$

Осталось доказать, что $\Delta_{b'} = 0 \text{ , } \Delta_b = \pi$.
Если взять выражение для отраженной волны $b_0e^{i\Delta_b} + \frac{a_0a'_0b'_0e^{i\Delta_{b'}}e^{i\theta}}{1-b'_0^2e^{i2\Delta_{b'}}e^{i\theta}}  = \rho e^{i\phi}$, приравнять полю пластины из формулы (31.17) $-\frac{\eta q_e}{2\epsO c}\biggl[i\omega\,\frac{q_e}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\,e^{i\omega(t-z/c)}\biggr] = \delta_0 e^{i\pi/2}e^{i\omega t}$ , то полученное уравнение $\phi = \pi/2$ никак не упрощается до $\Delta_{b} = \pi$.
Почему никто не помогает? Все знают вывод уравнений Френеля только через Максвелла? Фейнман сказал, что можно доказать без Максвелла.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group