Задача с параметром

[fondet]

Надо найти все значения $a$, при которых уравнение

($ 2 + \left\lvert x+a\right\rvert)^3 - (2 + $\left\lvert x+a\right\rvert)^2= (3 - x^2 - 2ax - 2a^2)^3 - (3 - x^2 - 2ax - 2a^2)^2

имеет хотя бы один корень.

Пусть ($ 2 + \left\lvert x+a\right\rvert) = t$, $ (3 - x^2 - 2ax - 2a^2) = b$

Тогда уравнение перепишется в виде: $t^3 - t^2 = b^3 - b^2$

$t^3 - b^3 = t^2 - b^2$

$(t-b)(t^2 + tb + b^2) = (t+b)(t-b)$

$(t-b)(t^2 + tb + b^2) - (t+b)(t-b)$

$(t-b)(t^2 + tb + b^2 - (t + b)) = 0 $

У нас получилась совокупность:

$$\left[\begin{array}{l}t-b=0\\t^2 + tb + b^2 - (t+b) = 0.\end{array}\right.$$

Решил первое уравнение совокупности, получил $a \in [-1;1]$
Посмотрел ответ: так и есть

Но ведь у нас есть ещё второе уравнение совокупности.
Видимо, надо доказать, что оно не имеет корней. Как это сделать?

[mihiv]

Можно отметить, что должно быть $t\geq 2$.

[iifat]

Как вариант, можно разложить $t^3-b^3$ на три линейных множителя. Если знаете комплексные числа, это несложно. Потом посмотреть, есть ли у получившихся уравнений действительные решения.

[Igrickiy(senior)]

mihiv в сообщении #1361729 писал(а):

Можно отметить, что должно быть $t\geq 2$.

Конечно.
Записать условие существования вещественных корней уравнения относительно $b$, рассматривая $t$ как параметр.
$b^2+b(t-1)+(t^2-t)=0$