Теорема Пуанкаре о возвращении

[pogulyat_vyshel]

У меня есть такая гипотеза : Если $A:X\to X$ -- унитарный оператор на гильбертовом пространстве то для любого $x\in X$ и любого $\epsilon>0$ существует последовательность натуральных чисел $a_k\to\infty$ такая, что $\|A^{a_k}x-x\|<\epsilon$.
Строгого доказательства пока писать не пытался, но прикидки основаны на спектральном разложении $A=\int_0^{2\pi}e^{i\varphi}dE(\varphi)$
Это утверждение известно? Или может быть есть какие-то очевидные контрпримеры?

[pogulyat_vyshel]

вопрос снят

[grizzly]

pogulyat_vyshel в сообщении #1361427 писал(а):

Или может быть есть какие-то очевидные контрпримеры?

Да, достаточно рассмотреть оператор двустороннего свдига на пространстве (двусторонних) последовательностей, квадратично суммируемых.

[pogulyat_vyshel]

По крайней мере верно следующее совершенно тривиальное утверждение.
Пусть $A:X\to X$ непрерывный взаимнооднозначный оператор такой, что $\sup_{n\in\mathbb{N}}\|A^n\|<\infty,\quad A(X)=X.$ Банахово пространство $X$ рефлексивно. Тогда для любого $x\in X$ найдется последовательность натуральных чисел $a_k\to\infty$ такая, что $A^{a_k}x\to x$ слабо.
Как ни странно, уже отсюда вытекает классическая теорема Пуанкаре о возвращении, достаточно применить это утверждение к оператору Купмана.