Мощность конечных последовательностей действительных чисел

[parean]

Задача:
Докажите, что множество всех конечных последовательностей действительных чисел равномощно $\mathbb{R}$.

Моё решение:
Все последовательности действительных чисел разбиваются в счётное объединение множеств последовательностей длины $n, n\in\mathbb{N}$. Последовательность длины $n$ можно отождествить с точкой в $n$-мерном пространстве. Всё пространство можно сжать в $n$-мерный единичный куб (применив композицию арктангенса, и перегнав $[-\pi/2,\pi/2]$ в $[0,1]$ по каждой координате, например), а затем, стандартным способом построить биекцию из этого куба в множество бесконечных двоичных последовательностей, имеющее мощность континуум. Так мы доказали, что множество последовательностей действительных чисел длины $n$ континуально. То есть, нам осталось доказать, что счётное объединение континуальных множеств имеет мощность континуум. Пронумеруем объединение, и $n$-тому континуальному множеству сопоставим отрезок $[a,b]$, где $a = (0,1/n), b = (1,1/n)$. Получаем вложение в единичный квадрат на плоскости. С одной стороны, мощность квадрата континуум, с другой — объединение континуальных множеств не может иметь мощность меньше континуума, значит оно континуум, и всё доказано.

1) Верно ли рассуждение?
2) Правильно ли я понимаю, что последний переход возможен только со ссылкой на теорему Кантора-Бернштейна? Если ответ да, можно ли как-нибудь обойтись без неё? Задачка из "Начал теории множеств" и даётся она раньше теоремы, подозреваю, можно решить её как-то иначе, но не придумывается как.

[vpb]

В принципе можно и без ссылки на Кантора-Бернштейна-Шредера, но это очень утомительно. Была такая тема на форуме (применительно к $[0,1]\times[0,1]$), сейчас лень искать. Не помню даже, доделали тогда прямое доказательство или нет. Я уверен, прямое доказательство еще классики придумали, Кантор или Дедекинд. А рассуждение, конечно, верное.

[parean]

Понял, спасибо