Какова реальная мгновенная ось вращения?

[amon]

Emergency в сообщении #1361147 писал(а):

А откуда взялась точка С1?

Точка $C_1$ это "центр плавучести" - центр масс погруженной в воду части корабля ("точка приложения силы Архимеда"). При наклоне корабля положение точки $C_1$ меняется. Сила Архимеда действует вдоль вертикальной линии. Точка пересечения таких линий при малом угле крена и есть метацентр корабля. Поэтому вопрос уважаемого reterty не очень осмысленный, поскольку $M$ по определению есть точка пересечения вертикальной линии, проходящей через центр плавучести корабля на ровном киле ($CM$) и наклоненного корабля $C_1M.$

[reterty]

amon в сообщении #1361197 писал(а):

Emergency в сообщении #1361147 писал(а):

А откуда взялась точка С1?

Точка $C_1$ это "центр плавучести" - центр масс погруженной в воду части корабля ("точка приложения силы Архимеда"). При наклоне корабля положение точки $C_1$ меняется. Сила Архимеда действует вдоль вертикальной линии. Точка пересечения таких линий при малом угле крена и есть метацентр корабля. Поэтому вопрос уважаемого reterty не очень осмысленный, поскольку $M$ по определению есть точка пересечения вертикальной линии, проходящей через центр плавучести корабля на ровном киле ($CM$) и наклоненного корабля $C_1M.$

Вот здесь http://rgho.st/7Xp58bDFc четко сказано, что согласно теореме Эйлера ось вращения для корабля проходит через центр флотации -точку пересечения поверхности воды с вертикальной плоскостью судна, тогда как понятие метацентра используется исключительно для описания условий остойчивости.
Другими словами, вышеупомянутое определение метацентра абсолютно верное, но ось вращения через него не проходит

[pogulyat_vyshel]

reterty в сообщении #1361233 писал(а):

ось вращения для корабля проходит через центр флотации -точку пересечения поверхности воды с вертикальной плоскостью судна

Это я как раз могу себе представить. Мы же в квазистатике работаем. При повороте вокруг центра флотации объем погруженной части корабля не меняется, значит центр масс движется вдоль горизонтальной прямой, на самом деле по окружности с центром в центре флотации, но окружность при малых углах наклона корабля приближается горизонтальной касательной. Фактически это реализация гипотезы того, что корабль совершает "чистую качку", не ныряя одновременно вверх-вниз как поплавок

[reterty]

pogulyat_vyshel в сообщении #1361253 писал(а):

reterty в сообщении #1361233 писал(а):

ось вращения для корабля проходит через центр флотации -точку пересечения поверхности воды с вертикальной плоскостью судна

Это я как раз могу себе представить. Мы же в квазистатике работаем. При повороте вокруг центра флотации объем погруженной части корабля не меняется, значит центр масс движется вдоль горизонтальной прямой, на самом деле по окружности с центром в центре флотации, но окружность при малых углах наклона корабля приближается горизонтальной касательной. Фактически это реализация гипотезы того, что корабль совершает "чистую качку", не ныряя одновременно вверх-вниз как поплавок

Итак, центр масс во время качки движется и реальная ось вращения через него не походит. Но классический вывод периода бортовой (или килевой) качки ("капитанская формула") основывается на записи уравнения моментов именно относительно оси, проходящей через центр масс и которая движется вместе с ним.
Вернемся теперь к спутнику. При вычислении периода качания спутника на орбите http://rgho.st/8GJWhlfFJ из силы $dF$, действующей на элемент длины спутника-стержня "лихо" вычитается
сила, обеспечивающая ему (и всем остальным элементам) орбитальное движение по данной орбите. Далее все моменты приводятся к центру масс, который как и в случае рассмотренном выше движется по окружности с соответствующим центростремительным ускорением. Поэтому и возник у меня вопрос (и каша в голове) о том что в одном случае не учитывается ускоренное движение центра масс, тогда как во втором (см. ссылку) авторы подчеркивают, что его нужно учитывать ( вычитать центробежную силу).

[reterty]

reterty в сообщении #1361567 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1361253 писал(а):

reterty в сообщении #1361233 писал(а):

ось вращения для корабля проходит через центр флотации -точку пересечения поверхности воды с вертикальной плоскостью судна

Это я как раз могу себе представить. Мы же в квазистатике работаем. При повороте вокруг центра флотации объем погруженной части корабля не меняется, значит центр масс движется вдоль горизонтальной прямой, на самом деле по окружности с центром в центре флотации, но окружность при малых углах наклона корабля приближается горизонтальной касательной. Фактически это реализация гипотезы того, что корабль совершает "чистую качку", не ныряя одновременно вверх-вниз как поплавок

Итак, центр масс во время качки движется и реальная ось вращения через него не походит. Но классический вывод периода бортовой (или килевой) качки ("капитанская формула") основывается на записи уравнения моментов именно относительно оси, проходящей через центр масс и которая движется вместе с ним.
Вернемся теперь к спутнику. При вычислении периода качания спутника на орбите http://rgho.st/8GJWhlfFJ из силы $dF$, действующей на элемент длины спутника-стержня "лихо" вычитается
сила, обеспечивающая ему (и всем остальным элементам) орбитальное движение по данной орбите. Далее все моменты приводятся к центру масс, который как и в случае рассмотренном выше движется по окружности с соответствующим центростремительным ускорением. Поэтому и возник у меня вопрос (и каша в голове) о том что в одном случае не учитывается ускоренное движение центра масс, тогда как во втором (см. ссылку) авторы подчеркивают, что его нужно учитывать ( вычитать центробежную силу).

Посмотрел Голубева Теор. механику. Получается, что уравнение моментов имеет "стандартный вид" для случая, когда ось вращения неподвижна или если она подвижна, но проходит через центр масс. Но тогда неверна вся эта "возня" с вычитанием центробежной силы http://rgho.st/8GJWhlfFJ для случая качания спутника на орбите..... Ведь ось вращения тоже проходит через центр масс

[pogulyat_vyshel]

Я не очень понял, что он там делает в этой статье, но в любом случае профессионалы так не работают.
Если бы мне надо было написать уравнения движения в этой задаче и нельзя было бы использовать уравнения Лагранжа , я бы действовал так. Обозначим за $O$ притягивающий центр, за $S$ -- центр масс стержня. Поскольку силы гравитации сходятся в $O$, мы сразу получаем закон сохранения кинетического момента стержня:

$${\boldsymbol K}_O=\boldsymbol {const},\quad \boldsymbol K_O=m[\boldsymbol {OS},\boldsymbol v_S]+J_S\boldsymbol \omega.\qquad(1)$$

Где $m$ -- масса стержня, $J_S$ -- оператор инерции стержня относительно центра масс, $\boldsymbol \omega$ -- угловая скорость стержня. Поскольку задача плоская, угловая скорость направлена перпендикулярно плоскости картинки и оператор инерции действует просто как умножение на число: $J_S\boldsymbol \omega=I\boldsymbol \omega$.

Далее, вводим полярную систему координат $r=|\boldsymbol {OS}|,\psi,\quad \boldsymbol {OS}=r\boldsymbol e_r$. Угол $\psi$ отсчитывается от неподвижного направления до вектора $\boldsymbol {OS}$ против часовой стрелки. Через $\boldsymbol e$ обозначим единичный вектор, направленнй вдоль стержня, $\boldsymbol e=\cos\theta\boldsymbol e_r+\sin\theta\boldsymbol e_\psi$. Через $\boldsymbol n$ обозначим единичный вектор перпендикулярный плоскости рисунка и смотрящий на нас: $\boldsymbol \omega=(\dot\psi+\dot\theta)\boldsymbol n$.
Остается написать теорему о движении центра масс:

$$m\boldsymbol a_S=-\gamma M\int_{-L}^L\frac{\rho \boldsymbol u ds}{|\boldsymbol u|^3},\quad \boldsymbol u=r\boldsymbol e_r+s\boldsymbol e.\qquad (2)$$

Уравнения (1)-(2) расписываются по реперу $\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\psi,\boldsymbol n$. Это будет три уравнения на искомые функции времени $r,\psi,\theta$. Формулы для скорости и ускорения точки в полярной системе -- смотрим в учебнике.

[reterty]

pogulyat_vyshel в сообщении #1361659 писал(а):

Я не очень понял, что он там делает в этой статье, но в любом случае профессионалы так не работают.
Если бы мне надо было написать уравнения движения в этой задаче и нельзя было бы использовать уравнения Лагранжа , я бы действовал так. Обозначим за $O$ притягивающий центр, за $S$ -- центр масс стержня. Поскольку силы гравитации сходятся в $O$, мы сразу получаем закон сохранения кинетического момента стержня:

$${\boldsymbol K}_O=\boldsymbol {const},\quad \boldsymbol K_O=m[\boldsymbol {OS},\boldsymbol v_S]+J_S\boldsymbol \omega.\qquad(1)$$

Где $m$ -- масса стержня, $J_S$ -- оператор инерции стержня относительно центра масс, $\boldsymbol \omega$ -- угловая скорость стержня. Поскольку задача плоская, угловая скорость направлена перпендикулярно плоскости картинки и оператор инерции действует просто как умножение на число: $J_S\boldsymbol \omega=I\boldsymbol \omega$.

Далее, вводим полярную систему координат $r=|\boldsymbol {OS}|,\psi,\quad \boldsymbol {OS}=r\boldsymbol e_r$. Угол $\psi$ отсчитывается от неподвижного направления до вектора $\boldsymbol {OS}$ против часовой стрелки. Через $\boldsymbol e$ обозначим единичный вектор, направленнй вдоль стержня, $\boldsymbol e=\cos\theta\boldsymbol e_r+\sin\theta\boldsymbol e_\psi$. Через $\boldsymbol n$ обозначим единичный вектор перпендикулярный плоскости рисунка и смотрящий на нас: $\boldsymbol \omega=(\dot\psi+\dot\theta)\boldsymbol n$.
Остается написать теорему о движении центра масс:

$$m\boldsymbol a_S=-\gamma M\int_{-L}^L\frac{\rho \boldsymbol u ds}{|\boldsymbol u|^3},\quad \boldsymbol u=r\boldsymbol e_r+s\boldsymbol e.\qquad (2)$$

Уравнения (1)-(2) расписываются по реперу $\boldsymbol e_r,\boldsymbol e_\psi,\boldsymbol n$. Это будет три уравнения на искомые функции времени $r,\psi,\theta$. Формулы для скорости и ускорения точки в полярной системе -- смотрим в учебнике.

Мой вопрос повис в воздухе....... Пусть центр масс тела движется с ускорением. Должны ли мы при использовании теоремы про изменение кинетического момента относительно оси, проходящей через центр масс к моменту реальных сил добавлять момент сил инерции????

[pogulyat_vyshel]

reterty в сообщении #1361764 писал(а):

Должны ли мы при использовании теоремы про изменение кинетического момента относительно оси, проходящей через центр масс к моменту реальных сил добавлять момент сил инерции????

нет, не должны