Тела с однородным электрическим полем

[Omrib1]

Не могу найти ответ на следующее.
Если взять тело, симметричное относительно какой то оси Х, с всюду одинаковой плотностью заряда $\rho$ и точно такое же тело с плотностью заряда $-\rho$, то при их «совмещении» получу незаряженное тело. Но если с этого положения одно из тел сдвинуть на небольшое расстояние относительно другого вдоль оси Х, то при какой форме тела поле внутри области пересечения тел будет однородным?
Я понял, что для шара и цилиндра (высотой много меньше радиуса) это работает. Походу это работает и для элипсоида вращения. Как я могу найти семейство этих форм? Или их ограниченное количество?

[Munin]

Рассмотрите граничное условие на границе между внутренней и внешней областью.

[drug39]

Omrib1, разберитесь, каков должен быть потенциал смещаемого тела.

[Omrib1]

Используя теорему Гаусса и свойство тела (создавать при наложении однородное поле), я смог найти напряженность поля внутри данного тела с плотностью заряда $\rho$:
$E_{x}=\alpha x$
$E_{y}=\frac{y}{2}(\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}-\alpha)$
(начало системы координат рассположено внутри тела в точке, в которой компонента напряженности по оси Х равняется нулю)
$\alpha$ - некая константа (очевидно для шара она равна $\frac{\rho}{3\varepsilon_{0}}$)
Из этих выражений легко получить выражения для потенциала. Но как из этого получить форму тела, я так и не придумал.

[drug39]

Omrib1, Вам нужно найти так называемый равномерно заряженный гомеоид. Т.е. бесконечно тонкую оболочку с гомотетичными внутренней и внешней поверхностями. Из таких гомеоидов составляется всё равномерно заряженное тело. Внутреннее поле гомеоида должно быть равно нулю. Берите сразу трёх мерный случай.

[Omrib1]

drug39, вы правы, такая форма подходит. Я догадывался, что поверхность тела будет элипсоидом. Но можно ли доказать, что другой формы быть не может?

[drug39]

То, что равномерно заряженный гомеоид имеет эллипсоидальную форму, известынй факт теории потенциала. Просто в силу принципа единственности решения такая оболочка неэллипсоидальной формы не обладает нулевым внутренним полем. Доказательство неполное, поскольку потребовалось вначале предположить, что форма именно эллипсоидальная. Но так обычно и излагают в теории. Доказательство того, что внутреннее поле нулевое, можно найти, например, в Сивухине на с. 97.
Можно рассматривать гомеоиды неэллипсоидальной формы. Они просто не являются равномерно заряженными. Из таких гомеоидов можно составить тело произвольной неэллипсоидальной формы. Внутренний потенциал этого тела квадратичный, поэтому оно и является тем производящим телом, которое предполагалось смещать. В результате получится тело с однородным полем. Форма этого тела может быть произвольная. Что соответствует случаю, когда проводник произвольной формы помещают в однородное поле. Внутри проводника возникает деполяризующее однородное поле. В результате поле в проводнике экранируется.