Доказательство свойства декартового произведения

[ignat.fugasov]

Нужно доказать $(A\times B\subset X\times Y)\Leftrightarrow (A\subset X)\wedge (B\subset Y)$ Пробую доказать необходимость.
Пусть $\forall(a,b) ((a,b)\in A\times B\to (a,b)\in X\times Y)$
переписываю что значат выражения перед и после импликации $\forall(a,b) (a\in A \wedge b\in B\to a\in X\wedge b\in Y)$
Но из этого нельзя вывести искомое. Вопрос - где и почему ошибка?
Забыл добавить - $X\times Y$ не пустое

[mihaild]

В условии. Утверждение, которое вы пытаетесь доказать, неверно.

[george66]

Возьмите $B$ пустое и посмотрите, что получится.

[ignat.fugasov]

mihaild ,забыл условие, $X\times Y$ не пустое

[mihaild]

ignat.fugasov, этого не хватит. После того, как допишете правильное условие - попробуйте в вашем утверждении

ignat.fugasov в сообщении #1360282 писал(а):

$\forall(a,b) (a\in A \wedge b\in B\to a\in X\wedge b\in Y)$

заменить $a$ на какой-то конкретный элемент $A$ (и соответственно убрать квантор по $a$).

[ignat.fugasov]

mihaild
Но мы же берем тогда произвольный конкретный элемент. Разве после такой замены значение утверждения поменяется?

[mihaild]

Что такое "значение утверждения"?
Из утверждения, которое получится после такой замены, можно будет легко получить одно из нужных тут утверждений.

[gefest_md]

ignat.fugasov, старайтесь не торопиться. Пишите одну букву рядом с квантором. Потом когда увидите $w\in A\times B$, сможете, по определению множества $A\times B$, записать $w=(a,b).$ Начинайте доказывать и смотрите сами какое условие не хватает, чтобы получить заключение. Чтобы доказать необходимость надо доказывать отдельно оба члена конъюнкции.

ignat.fugasov в сообщении #1360282 писал(а):

Вопрос - где и почему ошибка?

Это Зорич, глава 1, Упражнения. По-моему там опечатка. Могу подтвердить, что в теории первых двух глав опечаток не заметил.

-- Пн дек 10, 2018 19:58:31 --

ignat.fugasov в сообщении #1360282 писал(а):

Но из этого нельзя вывести искомое.

Как Вы это поняли?

[ignat.fugasov]

mihaild
Это я понял $\forall b (a_0\in A \wedge b\in B\to a_0\in X\wedge b\in Y)$. Не понимаю как вывести $\forall b (b\in B\to b\in Y)$ или $(a_0\in A\to a_0\in X)$ Не умею работать с кванторами, всё таки мат логики еще не было.

-- 10.12.2018, 22:08 --

gefest_md
По таблице истинности для того что в скобках и таблиц для того что нужно вывести, хотя и без них понятно, что в такой логической форме $a$ может зависеть от $b$ и наоборот

[mihaild]

ignat.fugasov$a_0$ же у вас не произвольное, а такое, что $a_0 \in A$. Это позволяет упростить левую часть импликации в скобках.
Правую часть можно упростить за счет того, что $(P \rightarrow Q \wedge V) \rightarrow (P \rightarrow V)$ - это тавтология исчисления высказываний.

[ignat.fugasov]

mihaild
Премного благодарен!

[gefest_md]

ignat.fugasov в сообщении #1360306 писал(а):

gefest_md
По таблице истинности для того что в скобках и таблиц для того что нужно вывести, хотя и без них понятно, что в такой логической форме $a$ может зависеть от $b$ и наоборот

Никогда бы не подумал. Можно найти недостающее условие в процессе доказательства.

Пусть дано $A\times B\subset X\times Y$. Это короткая запись. На языке матлогики пишется так $\forall w(w\in A\times B\to w\in X\times Y)$ (Д) (перевод: каждый элемент из множества $A\times B$ содержится в множестве $X\times Y$). Это уже вид предложения, который можно использовать с пользой.

Дальше надо доказать 1. $A\subset X$ и 2. $B\subset Y$.

Доказываю 1. $\forall a (a\in A\to a\in X)$ Перевод: Каждый элемент множества $A$ содержится в множестве $X.$ Начну. Беру элемент $a$ из $A$. Теперь если бы я знал, что $B$ не пусто, т.е. $b\in B$, то я смог бы построить упорядоченную пару $p=(a,b)$, где $a\in A$ и $b\in B$. Зная, что, по определению, $A\times B=\{w\mid\exists x\exists y\left(w=(x,y)\wedge x\in A\wedge y\in B\right)\}$, делаю вывод, что $p\in A\times B$. Возвращаюсь к допущению (Д) (каждый элемент из ...). Подставляю $p$ вместо $w$ и по правилу вывода модус поненс вывожу, что $p\in X\times Y$ (8). Тогда, по определению множества $X\times Y$ (там входят $\exists$), из (8), получим $(a,b)=p=(x_1,y_1)$, для некоторых $x_1\in X$ и $y_1\in Y$ (как я сказал, там $\exists x\exists y\dots$). По теореме о равенстве упорядоченных пар, $a=x_1$. Поэтому $a\in X$ что и требовалось доказать.

Также для 2. надо чтобы $A$ было непустым.

Так как надо доказать и 1., и 2., то недостающим условием должно быть $A\not=\varnothing$ и $B\not=\varnothing$, что равносильно $A\times B\not=\varnothing.$ Но это условие должно находиться вне эквивалентности, а не слева от нее, чтобы получилось доказать также и в другую сторону $\Leftarrow$. Т.е. неверно, что $[A\subset X\wedge B\subset Y\Rightarrow (A\times B\subset X\times Y)\wedge (A\times B\not=\varnothing)]$ для любых множеств.

[vpb]

ТС, Вы себя не мучьте языком матлогики ! Что, вааще, за мода такая дурная пошла ? Неужели обычного недостаточно ? И непустым надо предполагать не $X\times Y$, а $A\times B$.

[ignat.fugasov]

gefest_md
Спасибо за подробное объяснение.
vpb
Я понимаю, что излишний формализм до добра может не довести. Просто хочется посмотреть как оно будет выглядеть если оставить только списки формул, как в логических исчислениях.

[vpb]

ignat.fugasov в сообщении #1360449 писал(а):

Просто хочется посмотреть как оно будет выглядеть если оставить только списки формул, как в логических исчислениях.

Дело Ваше. Некоторым людям это интересно, а для некоторых (весьма немногих) это становится основной работой.