Мягкие фотоны, инфракрасная расходимость

[Ascold]

В книге Mandl & Shaw, "Quantum field theory" непонятен раздел 8.9, а именно:
1. В первом абзаце говорится, что раз фотоны излучаются низкоэнергетичные, то из-за конечной минимальной чувствительности $\Delta E$ детектор регистрировать будет их не всегда, а потому диф. сечение рассеяния в эксперименте складывается из сечений упругого рассеяния и тормозного излучения

$$\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{Exp}=\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{El}+\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{B} \quad (8.105)$$

Как это понимать - ведь $\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{El},$ как мне кажется, входит в $\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{B},$ поскольку случай отсутствия излученного электроном фотона - это частный случай тормозного излучения или нет?

2. Далее вводится величина($p$ и $p'$ - начальный и конечный 4-импульсы электрона, $k$-импульс излученного фотона)

$$B=\frac{-1}{(2\pi)^2}\int_{0 \leq |\mathbf{k}|\leq \Delta E}\frac{d\mathbf{k}}{\omega}\left(\frac{p'}{p'k}-\frac{p}{pk}\right)^2 \quad (8.107)$$

о которой говорится, что подынтегральное выражение при малых частотах ведёт себя как $1/\omega.$ Как увидеть, что это именно так - расписал скобку:

$$\left(\frac{p'}{p'k}-\frac{p}{pk}\right)^2=\frac{m^2}{(E'\omega-\mathbf{p'k})^2}+\frac{m^2}{(E\omega-\mathbf{pk})^2}-2\frac{E'E-\mathbf{p'p}}{(E'\omega-\mathbf{p'k})(E\omega-\mathbf{pk})},$$

как отсюда увидеть, что она стремится к 1 при $\omega \to 0?$
Ясно, что при $\omega \to 0$ $E'\to E, \quadd |\mathbf{p}'|\to |\mathbf{p}|, \quadd |\mathbf{k}|\to 0,$ но у меня при подстановке что-то другое получается. К примеру,

$$\frac{m^2}{(E'\omega-\mathbf{p'k})^2}\to \frac{m^2}{(E\omega-\mathbf{pk})^2}= \frac{m^2}{E^2\omega^2-2E\omega|\mathbf{p}||\mathbf{k}|\cos(\theta)+|\mathbf{p}|^2|\mathbf{k}|^2\cos^2(\theta)},$$

что делать с таким выражением - если заранее неизвестен релятивистский или не очень характер движения электрона, как по оценить, что выкинуть, а что оставить, или я что-то не то делаю, а надо приводить всё к общему знаменателю и там выцеливать, во что выльется вся сумма?

[amon]

Ascold в сообщении #1359834 писал(а):

поскольку случай отсутствия излученного электроном фотона - это частный случай тормозного излучения или нет?

Нет. Тормозное излучение это неупругий процесс по определению.

Ascold в сообщении #1359834 писал(а):

$$B=\frac{-1}{(2\pi)^2}\int_{0 \leq |\mathbf{k}|\leq \Delta E}\frac{d\mathbf{k}}{\omega}\left(\frac{p'}{p'k}-\frac{p}{pk}\right)^2 \quad (8.107)$$

$$\frac{d\mathbf{k}}{\omega}\left(\frac{p'}{p'k}-\frac{p}{pk}\right)^2\sim \frac{k^2dkd\Omega}{\omega}\frac{1}{k^2}\bigg(\text{какая-то конечная хрень, зависящая только от углов}\bigg)^2$$

[Ascold]

amon в сообщении #1359890 писал(а):

Нет. Тормозное излучение это неупругий процесс по определению.

Задам тогда вопрос по-другому: вот летит электрон в статическом(пренебрегаем действием электрона на поле) электромагнитном поле, как-то там неупруго на нём рассеивается, излучает фотоны. Должны ли все формулы, связанные с этим процессом, переходить в формулы для упругого рассеяния в постоянном электромагнитном поле при $\omega \to 0$?

[Ascold]

Ну и ещё возник вопрос по той же книжке - выражая как сечение упругого рассеяния, так и тормозного излучения через упругое сечение первого порядка $\frac{d\sigma}{d\Omega '}_0$ и фиктивную массу фотона $\lambda \to 0$, авторы пишут в итоге:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{Exp}=\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{El}+\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{B}=\frac{d\sigma}{d\Omega '}_0\left(1+\alpha[B(\lambda)+R(\lambda)+o(\lambda^2)] \right), \quad (8.112)$$

а затем рисуют диаграмму, соответствующую поправочному члену к упругому рассеянию электрона внешним полем(рис. 8.9).
Как её учитывать при вычислениях - она замещает собой диаграмму упругого рассеяния или д.б. к ней "прибавлена"?
Почему там петля, из каких вообще соображений она так нарисована?

[amon]

Ascold в сообщении #1359963 писал(а):

летит электрон в статическом(пренебрегаем действием электрона на поле) электромагнитном поле, как-то там неупруго на нём рассеивается, излучает фотоны.

А это, как известно, "плохая задача". При движении с постоянным ускорением в классике получается, что излучение есть, а торможение, связанное с этим излучением, отсутствует. Поэтому в такой постановке неупругих процессов вроде как и нет, зато есть упругое взаимодействие электрона со своими и чужими ранее излученными фотонами. Классические аспекты этой задачи и возникающих в ней "парадоксов" изложены у Гинзбурга (УФН т. 98 вып. 3 стр. 569 (1969)).

[Ascold]

amon в сообщении #1359987 писал(а):

Классические аспекты этой задачи и возникающих в ней "парадоксов" изложены у Гинзбурга (УФН т. 98 вып. 3 стр. 569 (1969)).

Посмотрел, благодарю. Осталось разобраться с проблемой диаграммы, описанной мною постом выше, и двигаться дальше.

Кстати, вся эта тема с подавлением инфракрасной расходимости при тормозном излучении так ли важна и фундаментальна, или это всего лишь частный технический вопрос о вычислении сечений рассеяния?

[amon]

Ascold в сообщении #1360006 писал(а):

вся эта тема с подавлением инфракрасной расходимости при тормозном излучении так ли важна и фундаментальна

Гляньте статью в УФН Льва Васильевича Прохорова (УФН т. 169 №11 стр. 1199). Лев Васильевич, светлая ему память, в отдельных вопросах был известный путаник, но в этой статье он никаких закидонов себе не позволил.

[Ascold]

amon в сообщении #1360070 писал(а):

Гляньте статью в УФН Льва Васильевича Прохорова (УФН т. 169 №11 стр. 1199)

Глянул. Всё равно неясно. В статье написано, например

Цитата:

Поскольку вероятность излучения конечного числа фотонов с исчезающей энергией равна нулю (амплитуды соответствующих процессов стремятся к бесконечности, полная же вероятность нормирована на единицу)

Как так - амплитуды бесконечны, а вероятность равна нулю - она же по ним квадратична?
Ещё: ну вот появились расходящиеся интегралы для сечений рассеяния при $\omega\to 0$ - почему из этого следует, что сколь угодно низкоэнергетичные фотоны должны быть, вдруг они не излучаются вовсе?