2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мягкие фотоны, инфракрасная расходимость
Сообщение08.12.2018, 21:48 


28/08/13
521
В книге Mandl & Shaw, "Quantum field theory" непонятен раздел 8.9, а именно:
1. В первом абзаце говорится, что раз фотоны излучаются низкоэнергетичные, то из-за конечной минимальной чувствительности $\Delta E$ детектор регистрировать будет их не всегда, а потому диф. сечение рассеяния в эксперименте складывается из сечений упругого рассеяния и тормозного излучения
$$\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{Exp}=\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{El}+\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{B} \quad (8.105)$$
Как это понимать - ведь $\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{El},$ как мне кажется, входит в $\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{B},$ поскольку случай отсутствия излученного электроном фотона - это частный случай тормозного излучения или нет?

2. Далее вводится величина($p$ и $p'$ - начальный и конечный 4-импульсы электрона, $k$-импульс излученного фотона)$$B=\frac{-1}{(2\pi)^2}\int_{0 \leq |\mathbf{k}|\leq \Delta E}\frac{d\mathbf{k}}{\omega}\left(\frac{p'}{p'k}-\frac{p}{pk}\right)^2 \quad (8.107)$$
о которой говорится, что подынтегральное выражение при малых частотах ведёт себя как $1/\omega.$ Как увидеть, что это именно так - расписал скобку:
$$\left(\frac{p'}{p'k}-\frac{p}{pk}\right)^2=\frac{m^2}{(E'\omega-\mathbf{p'k})^2}+\frac{m^2}{(E\omega-\mathbf{pk})^2}-2\frac{E'E-\mathbf{p'p}}{(E'\omega-\mathbf{p'k})(E\omega-\mathbf{pk})},$$ как отсюда увидеть, что она стремится к 1 при $\omega \to 0?$
Ясно, что при $\omega \to 0$ $E'\to E, \quadd |\mathbf{p}'|\to |\mathbf{p}|, \quadd |\mathbf{k}|\to 0,$ но у меня при подстановке что-то другое получается. К примеру,
$$\frac{m^2}{(E'\omega-\mathbf{p'k})^2}\to \frac{m^2}{(E\omega-\mathbf{pk})^2}= \frac{m^2}{E^2\omega^2-2E\omega|\mathbf{p}||\mathbf{k}|\cos(\theta)+|\mathbf{p}|^2|\mathbf{k}|^2\cos^2(\theta)},$$
что делать с таким выражением - если заранее неизвестен релятивистский или не очень характер движения электрона, как по оценить, что выкинуть, а что оставить, или я что-то не то делаю, а надо приводить всё к общему знаменателю и там выцеливать, во что выльется вся сумма?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мягкие фотоны, инфракрасная расходимость
Сообщение09.12.2018, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ascold в сообщении #1359834 писал(а):
поскольку случай отсутствия излученного электроном фотона - это частный случай тормозного излучения или нет?
Нет. Тормозное излучение это неупругий процесс по определению.
Ascold в сообщении #1359834 писал(а):
$$B=\frac{-1}{(2\pi)^2}\int_{0 \leq |\mathbf{k}|\leq \Delta E}\frac{d\mathbf{k}}{\omega}\left(\frac{p'}{p'k}-\frac{p}{pk}\right)^2 \quad (8.107)$$

$$\frac{d\mathbf{k}}{\omega}\left(\frac{p'}{p'k}-\frac{p}{pk}\right)^2\sim \frac{k^2dkd\Omega}{\omega}\frac{1}{k^2}\bigg(\text{какая-то конечная хрень, зависящая только от углов}\bigg)^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мягкие фотоны, инфракрасная расходимость
Сообщение09.12.2018, 12:52 


28/08/13
521
amon в сообщении #1359890 писал(а):
Нет. Тормозное излучение это неупругий процесс по определению.

Задам тогда вопрос по-другому: вот летит электрон в статическом(пренебрегаем действием электрона на поле) электромагнитном поле, как-то там неупруго на нём рассеивается, излучает фотоны. Должны ли все формулы, связанные с этим процессом, переходить в формулы для упругого рассеяния в постоянном электромагнитном поле при $\omega \to 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мягкие фотоны, инфракрасная расходимость
Сообщение09.12.2018, 15:00 


28/08/13
521
Ну и ещё возник вопрос по той же книжке - выражая как сечение упругого рассеяния, так и тормозного излучения через упругое сечение первого порядка $\frac{d\sigma}{d\Omega '}_0$ и фиктивную массу фотона $\lambda \to 0$, авторы пишут в итоге:
$$\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{Exp}=\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{El}+\frac{d\sigma}{d\Omega '}_{B}=\frac{d\sigma}{d\Omega '}_0\left(1+\alpha[B(\lambda)+R(\lambda)+o(\lambda^2)] \right), \quad (8.112)$$
а затем рисуют диаграмму, соответствующую поправочному члену к упругому рассеянию электрона внешним полем(рис. 8.9).
Как её учитывать при вычислениях - она замещает собой диаграмму упругого рассеяния или д.б. к ней "прибавлена"?
Почему там петля, из каких вообще соображений она так нарисована?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мягкие фотоны, инфракрасная расходимость
Сообщение09.12.2018, 15:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ascold в сообщении #1359963 писал(а):
летит электрон в статическом(пренебрегаем действием электрона на поле) электромагнитном поле, как-то там неупруго на нём рассеивается, излучает фотоны.
А это, как известно, "плохая задача". При движении с постоянным ускорением в классике получается, что излучение есть, а торможение, связанное с этим излучением, отсутствует. Поэтому в такой постановке неупругих процессов вроде как и нет, зато есть упругое взаимодействие электрона со своими и чужими ранее излученными фотонами. Классические аспекты этой задачи и возникающих в ней "парадоксов" изложены у Гинзбурга (УФН т. 98 вып. 3 стр. 569 (1969)).

 Профиль  
                  
 
 Re: Мягкие фотоны, инфракрасная расходимость
Сообщение09.12.2018, 16:55 


28/08/13
521
amon в сообщении #1359987 писал(а):
Классические аспекты этой задачи и возникающих в ней "парадоксов" изложены у Гинзбурга (УФН т. 98 вып. 3 стр. 569 (1969)).

Посмотрел, благодарю. Осталось разобраться с проблемой диаграммы, описанной мною постом выше, и двигаться дальше.

Кстати, вся эта тема с подавлением инфракрасной расходимости при тормозном излучении так ли важна и фундаментальна, или это всего лишь частный технический вопрос о вычислении сечений рассеяния?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мягкие фотоны, инфракрасная расходимость
Сообщение09.12.2018, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ascold в сообщении #1360006 писал(а):
вся эта тема с подавлением инфракрасной расходимости при тормозном излучении так ли важна и фундаментальна
Гляньте статью в УФН Льва Васильевича Прохорова (УФН т. 169 №11 стр. 1199). Лев Васильевич, светлая ему память, в отдельных вопросах был известный путаник, но в этой статье он никаких закидонов себе не позволил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мягкие фотоны, инфракрасная расходимость
Сообщение09.12.2018, 22:01 


28/08/13
521
amon в сообщении #1360070 писал(а):
Гляньте статью в УФН Льва Васильевича Прохорова (УФН т. 169 №11 стр. 1199)

Глянул. Всё равно неясно. В статье написано, например
Цитата:
Поскольку вероятность излучения конечного числа фотонов с исчезающей энергией равна нулю (амплитуды соответствующих процессов стремятся к бесконечности, полная же вероятность нормирована на единицу)

Как так - амплитуды бесконечны, а вероятность равна нулю - она же по ним квадратична?
Ещё: ну вот появились расходящиеся интегралы для сечений рассеяния при $\omega\to 0$ - почему из этого следует, что сколь угодно низкоэнергетичные фотоны должны быть, вдруг они не излучаются вовсе?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group