2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Про факторизацию отображений
Сообщение06.12.2018, 20:54 


01/09/14
357
Фраза
Цитата:
Сюръективное отображение $p: x \mapsto p(x) = \overline{x}$ называется естественным отображением (или канонической проекцией) $X$ на фактормножество $X/\sim$.
Здесь $\overline{x}$ — это некий класс эквивалентности и фактормножество $X/\sim$. Если я правильно понимаю, то $p$ отображает любой элемент множества $X$ в множество $\overline{x}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение06.12.2018, 20:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да, любой (ведь даже указано, что $p$ действует из $X$ :wink:) в соответствующий ему класс.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение06.12.2018, 21:24 


01/09/14
357
arseniiv, спасибо. Продолжаю
Цитата:
Пусть $X$, $Y$ — два множества и $f: X \to Y$ — отображение. Бинарное отношение $\omega_{f}:\forall x, x' \in X \; x\omega_{f}x' \Longleftrightarrow f(x) = f(x')$, очевидно, рефлексивно $(f(x) = f(x))$, симметрично $(f(x') = f(x) \Rightarrow f(x) = f(x'))$ и транзитивно $(f(x) = f(x') \; \& \; f(x') = f(x'') \Rightarrow f(x) = f(x''))$. Таким образом, $\omega_{f}$ — отношение эквивалентности на $X$. Соответствующие классы эквивалентности $\overline{x}$ являются слоями (прообразами). Другими словами, $x = \{x' | f(x') = f(x)\}$.
Я не понимаю что это за "соответствующие классы". Прошу пояснить. Или здесь берётся некоторое $x$ из $X$ и для этого $x$ создаётся свой класс эквивалентности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение06.12.2018, 21:47 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да, соответствующие классы — опять же, классы эквивалентности отношения $\omega_f$, ведь других отношений эквивалентности рядом не рассматривается. И в данном случае можно получить все их, беря прообразы $f^{-1}(y)$ всевозможных элементов $y\in Y$ (а чтобы получить только их, надо будет только проигнорировать пустые прообразы).

-- Чт дек 06, 2018 23:48:20 --

Charlz_Klug в сообщении #1359336 писал(а):
Другими словами, $x = \{x' | f(x') = f(x)\}$.
Забыли черту в самом начале. :-) Будем считать опечаткой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение06.12.2018, 21:50 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Charlz_Klug в сообщении #1359336 писал(а):
что это за "соответствующие классы".

Ну как - что: классы экв-ти для отношения $\omega_f$....
Ну, посмотрите примеры каки-нить, типа:
а) $f(x) = x^2$ на прямой
Или б) $f(x) = e^{ix},$ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение06.12.2018, 21:53 


01/09/14
357
arseniiv в сообщении #1359343 писал(а):
Charlz_Klug в сообщении #1359336 писал(а):
Другими словами, $x = \{x' | f(x') = f(x)\}$.
Забыли черту в самом начале. :-) Будем считать опечаткой.
Это не моя опечатка, это в книге так. Меня это тоже смутило. Похоже, что действительно должно быть $\overline{x} = \{x' | f(x') = f(x)\}$.

-- 06.12.2018, 23:24 --

DeBill в сообщении #1359346 писал(а):
Ну, посмотрите примеры каки-нить, типа:
а) $f(x) = x^2$ на прямой
Если я правило понял, то примерами классов эквивалентности могут быть множества $\{0\}$, $\{-1, 1\}$, $\{-2, 2\}$ и т.д.?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение06.12.2018, 23:43 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
Charlz_Klug в сообщении #1359328 писал(а):
Здесь $\overline{x}$ — это некий класс эквивалентности и фактормножество $X/\sim$.
Здесь или опечатка, или Вы не так поняли.
Там где рассказывают про отношение эквивалентности, обычно вводится также понятие разбиения (множества $X$). Наверно потому, что разбиение - в каком-то смысле более общее понятие, чем множество классов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение07.12.2018, 11:41 


01/09/14
357
gefest_md в сообщении #1359386 писал(а):
Charlz_Klug в сообщении #1359328 писал(а):
Здесь $\overline{x}$ — это некий класс эквивалентности и фактормножество $X/\sim$.
Здесь или опечатка, или Вы не так поняли.
Там где рассказывают про отношение эквивалентности, обычно вводится также понятие разбиения (множества $X$).
Скорее я неправильно понял. Это мои слова. Да, понятие разбиения введено. Исходя из Вашего замечания и перечитав определения я делаю вывод, что $\overline{x}$ — это некоторое множество, а фактормножество — это разбиение отвечающее отношению эквивалентности. То есть, множество и фактормножество — это два разных понятия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение07.12.2018, 12:58 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
gefest_md в сообщении #1359386 писал(а):
Наверно потому, что разбиение - в каком-то смысле более общее понятие, чем множество классов.
Почему, любому разбиению множества взаимно однозначно соответствует какая-то эквивалентность на нём.

Charlz_Klug в сообщении #1359498 писал(а):
То есть, множество и фактормножество — это два разных понятия?
Да, конечно. Фактормножество — это множество, но притом не любое множество, так что. Давайте ещё раз проверим определения: если $\sim$ — отношение эквивалентности на некотором $X$, то фактормножество $X/{\sim}\equiv\{[x]_\sim\mid x\in X\}$, где $[x]_\sim\equiv\{x' \mid x'\in X, x'\sim x\}$ — множество элементов, эквивалентных $x$, и само отображение $[\cdot]_\sim$ — это та самая каноническая проекция, факторотображение $X\to X/{\sim}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение07.12.2018, 13:11 


01/09/14
357
arseniiv в сообщении #1359519 писал(а):
Charlz_Klug в сообщении #1359498 писал(а):
То есть, множество и фактормножество — это два разных понятия?
Да, конечно. Фактормножество — это множество, но притом не любое множество, так что. Давайте ещё раз проверим определения: если $\sim$ — отношение эквивалентности на некотором $X$, то фактормножество $X/{\sim}\equiv\{[x]_\sim\mid x\in X\}$, где $[x]_\sim\equiv\{x' \mid x'\in X, x'\sim x\}$ — множество элементов, эквивалентных $x$, и само отображение $[\cdot]_\sim$ — это та самая каноническая проекция, факторотображение $X\to X/{\sim}$.
Спасибо, так гораздо понятней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение07.12.2018, 17:46 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
Charlz_Klug в сообщении #1359498 писал(а):
а фактормножество — это разбиение отвечающее отношению эквивалентности.
Да, только такое соответствие между разбиением множества $X$ и отношением эквивалентности на $X$ устанавливается с помощью теорем. По-моему главная теорема такая: $\exists R\left(R\text{ - о.э. на }X\And B\text{ - мн-во классов по } R\right)\Leftrightarrow B\text{ - разбиение мн-ва } X$.

arseniiv в сообщении #1359519 писал(а):
Почему, любому разбиению множества взаимно однозначно соответствует какая-то эквивалентность на нём.
В определении разбиения не участвует никакое отношение. То есть в некотором (формальном) смысле понятие разбиения более общее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение07.12.2018, 18:24 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Да ну прям более общее. В понятии отношения [эквивалентности, если нужно] тоже не участвует никакого разбиения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение07.12.2018, 20:00 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
1. "$B$ - множество классов по о.э. $R$ на $X$"
2. "$B$ - разбиение множества $X$"

Первое определяемое выражение переформулирую, чтобы было заметно уточнение:
1'. "$B$ - разбиение множества $X$ по $R$ (на $X$)"

В конце концов в 1 три буквы, в 2 - две буквы. Пусть я использовал слово "общее" в каком-то своем смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Про факторизацию отображений
Сообщение07.12.2018, 20:26 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А, то есть вы сравниваете разбиение на классы эквивалентности с просто разбиением (хотя особой пользы всё равно вроде не видно :roll:). Сначала решил, что вы имели в виду, что разбиений в каком-то смысле больше, чем фактормножеств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group