Дробно-рациональные функции

[A.M.V.]

wrest в сообщении #1360213 писал(а):

A.M.V. в сообщении #1360211 писал(а):

$${\int{\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\int \frac{x^2-1}{x^2+1}dx=x\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)}-\int f_1(x)dx$$

Как вы это получили? Вольфрам альфа на голубом глазу уверяет нас, что

$${\int{\ln\left( 1+\frac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(x+\frac{1}{x}\right)}+\ln(1+x)+C$$

Вот: https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+(log(1%2B1%2Fx))dx

Вольфрам прав. Этот интеграл из другой "серии".

$${\int{\ln\left( x+\frac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(x+\frac{1}{x}\right)}-\int \frac{x^2-1}{x^2+1}dx=x\ln{\left(x+\frac{1}{x}\right)}-\int f_1(x)dx$$

-- 10 дек 2018, 17:34 --

Sender в сообщении #1360214 писал(а):

А, ну так можно проинтегрировать по частям $I=\int \ln Q(x) dx$, тогда получается $I=x\ln Q(x)-\int x \frac{Q'(x)}{Q(x)}dx$

Да, именно так эти интегралы и берутся.

[A.M.V.]

A.M.V. в сообщении #1360211 писал(а):

Данные функции $f_1(x), f_2(x),f_3(x) $ получены следующим образом:

$${\int{\ln\left( x+\cfrac{1}{x}\right)}dx}=x\ln{\left(x+\cfrac{1}{x}\right)}-\int \cfrac{x^2-1}{x^2+1}dx=x\ln{\left(x+\cfrac{1}{x}\right)}-\int f_1(x)dx$$

$${\int{\ln\left( x+\cfrac{1}{x+\cfrac{1}{x}}\right)}dx}=x\ln\left( x+\cfrac{1}{x+\cfrac{1}{x}}\right)}-\int \cfrac{x^4+x^2+2}{(x^2+1)(x^2+2)}dx=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\cfrac{1}{x}}\right)}-\int f_2(x)dx$$

$${\int{\ln\left( x+\cfrac{1}{x+\cfrac{1}{x+\cfrac{1}{x}}}\right)}dx}=x\ln\left( x+\frac{1}{x+\cfrac{1}{x+\cfrac{1}{x}}}\right)}-$$ $$- \int \cfrac{x^6+3x^4+3x^2-2}{(x^4+3x^2+1)(x^2+2)}dx=x\ln\left( x+\cfrac{1}{x+\cfrac{1}{x+\cfrac{1}{x}}}\right)}-\int f_3(x)dx $$