Оценить максимальную скорость передачи информации

[ioleg19029700]

Цифровая информация передается по оптоволоконной линии связи длиной $l = 10 \text{ км}$. В линии используется инфракрасное излучение на длине $\lambda = 10^{-6}\text{ м}$, для которого показатель преломления материала волокна $n = 1.5$. Длительность входного импульса, используемого в линии $\tau(0) = 1 \text{ пс} = 10^{-12} \text{ с}$. Для временного разделения импульсов приёмными устройствами период их следования $T$ должен быть вдвое больше длительности $\tau(l)$ импульса на выходе линии. Нужно оценить максимальную скорость передачи информации, учитывая дисперсионное расплывание импульсов в линии, если ${\partial n \over \partial\lambda} = 4\cdot 10^{-3} \text{ мкм}^{-1}$ . Для оценки нужно использовать изменение групповой скорости в диапазоне длин волн, соответствующем спектру импульса. Принять, что

$${\partial^2 n \over \partial \lambda^2} << {1\over n}\left({\partial n \over \partial\lambda}\right)^2$$

.
Воспользовавшись $n = {c_0 \over V_{\text{фаз}}}, \text{ где } c_0 - \text{ это скорость света в вакууме }$, представим формулу Релея

$$V_{\text{гр}} = V_{\text{фаз}} - \lambda{\partial c \over \partial\lambda }$$

как функцию от показателя преломления и его производной, зависящих от длины волны

$$V_{\text{гр}} = {c_0\over n}\left(1 + \frac{\lambda}{n}{\partial n \over \partial \lambda} \right), \text{ где } n = n(\lambda)$$

Сказано, что для оценки расплывания волнового пакета нужно использовать изменение групповой скорости в диапазоне длин волн, соответствующем спектру импульса, иначе говоря, я использую

$$\delta t = l\left|{\partial^2 k\over \partial w^2}\right|{2\pi \over \tau}, \text{ где } \tau = \tau(0), \text{ а } {\partial^2 k\over \partial w^2} \text{ вычислена на несущей частоте } \omega_0 $$

Так как в задаче ничего о спектре сигнала нет, то, как я понял, нужно найти этот второй множитель, как то выразить его. Это у меня не получается. Обычно нужно составить какую-то систему уравнений, но я не понимаю какую. Я пробовал также представить групповую скорость, зависящей от $n(\omega), {\partial n\over \partial \omega}$. Используя, $k = {n\omega\over c_0}$ и $V_{\text{гр}}^{-1} = {\partial k \over \partial \omega}$, получил

$$ V_{\text{гр}} = {c_0\over n}\left(1 + \frac{w}{n}{\partial n\over \partial w}\right)^{-1}, \text{ где } n=n(\omega)$$

Также я заметил, что если в формуле $V_{\text{гр}}^{-1} = \frac{n}{c_0}\left( 1 + \frac{\lambda}{n}\frac{\partial n}{\partial\lambda}\right)^{-1}$ считать второе слагаемое в скобке малым, то можно получить $V_{\text{гр}}^{-1} = \frac{n}{c_0}\left(1 - \frac{\lambda}{n}\frac{\partial n}{\partial\lambda} + \frac{1}{2}\left(\frac{\lambda}{n}\frac{\partial n}{\partial\lambda}\right)^2 - \ldots\right)$, и после внесения $n$ в скобку, получим что-то похожее из последнего предложения формулировки. Это последнее условие выглядит как что-то нужное при разложении в ряд, чтобы потом пренебречь слагаемыми более высокого порядка малости. В общем как бы я ни пробывал, не получается выразить $\left|{\partial^2 k\over \partial \omega^2}\right|$