Задача по теории чисел. Верно ли утверждение?

[Andrey A]

Т.С., кажется, покинул собрание, а задача любопытная. Выше описанную схему можно продолжить на $n$ переменных, но тут она уже не описывает всех решений, коих значительно больше. Ключ к общему решению тем не менее тот же: если для некоторых $A_1,A_2,A_3,...,A_{n-1},A_n$ существует целое $K=\dfrac{(A_1-A_2)(A_2-A_3)...(A_{n-1}-A_n)(A_n-A_1)-(A_1+A_2+A_3+...+A_{n-1}+A_n)}{n}$, то $A_1+K,A_2+K,A_3+K,...,A_n+K$ удовлетворяют равенству (1), и задача сводится к квадратичному сравнению по $\mod n$. Выбрав $n-1$ фиксированных значений и одну переменную переменную в качестве неизвестного, получаем под радикалом число, которое может оказаться квадратичным невычетом по $\mod n$, и дело зависит от случая. Если же взять неизвестными пару переменных (к примеру $A_{n-1},A_n$) и выразить $A_{n-1}$ через $A_n$, то под радикалом оказывается многочлен $f_{A_n}$. Из $n$ опытов отбираем квадратичные вычеты по $\mod n$ и получаем нужные значения $A_{n-1},A_n$. Пара примеров для $n=5$:

$(2-3)(3-5)(5-6)(6-8)(8-2)=2+3+5+6+8.$

$(12-11)(11-9)(9-10)(10-6)(6-12)=12+11+9+10+6.$

[Fedorov]

Почему обязательно целые? Это вообще верно

$f(a; b; c) = (a-b)(b-c)(c-a) = a+b+c$
$f(b; a; c) = (b-a)(a-c)(c-b) = b+a+c$

Складываем, получаем
$ a+b+c=0.

[wrest]

Fedorov
Ну вот же:
$a=15;b=18;c=21:$
$(15-18)(18-21)(21-15)=-3\cdot -3\cdot 6=54;$
$15+18+21=54;54=54;54\ne 0$

[Fedorov]

wrest

Признаю: Ниже - это чушь полная.

Вы о чём? Условие задачи внимательно почитайте. Нужно доказать

$ f(a;b;c) = a+b+c \quad\Rightarrow\quad a+b+c=0$.

А у вас \quad $ \quad\; f(a;b;c) \ne a+b+c$.

[wrest]

Fedorov в сообщении #1359395 писал(а):

Условие задачи внимательно почитайте.

Читаем:

Pygmalion в сообщении #1358701 писал(а):

Задача. Верно ли, что если целые числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют равенству $\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) = a + b + c$ (1), то $a + b + c = 0$?

Пишем ответ: "Нет, не верно, т.к. существует контрпример $a=15;b=18;c=21$"

-- 07.12.2018, 00:16 --

Fedorov в сообщении #1359395 писал(а):

wrest

$ f(a;b;c) = a+b+c \quad\Rightarrow\quad a+b+c=0$.

А у вас \quad $ \quad\; f(a;b;c) \ne a+b+c$.

И чему, по-вашему, равно $f(15;18;21)$?

[Fedorov]

wrest

Ну, у вас же условие задачи не выполнено.

$(a-b)(b-c)(c-a) \ne a+b+c$.

Признаю: И это чушь полная.

[wrest]

Fedorov в сообщении #1359404 писал(а):

Ну, у вас же условие задачи не выполнено.

Ну давайте последовательно.
Берем $15;18;21$
Чему равно $a-b=15-18$?
Вы знакомы с концепцией отрицательных чисел, кстати?

[Fedorov]

wrest

Вот, если бы вы привели пример такой, что

$f(a;b;c) = a+b+c$, но при этом $ a+b+c\ne 0$.

Тогда ответ был бы НЕТ.

Каюсь: И это чушь.

[wrest]

Fedorov в сообщении #1359409 писал(а):

Вот, если бы вы привели пример такой, что

$f(a;b;c) = a+b+c$, но при этом $ a+b+c\ne 0$.

Вот же пример:
$(15-18)(18-21)(21-15)=15+18+21$ но при этом $15+18+21 \ne 0$
Всё как вы хотели

[grizzly]

Fedorov
Просто сделайте паузу. Утром посмотрите ещё раз свежим взглядом.

wrest
Нет смысла сегодня спорить. Ну переклинило человека, с кем не бывает :)

[Fedorov]

wrest

Согласен. С чего это я решил, что коммутируют a и b.
Каюсь. Лопухнулся как школьник.

[kotenok gav]

Fedorov в сообщении #1359417 писал(а):

Лопухнулся как школьник.

Не говорите за школьников!