Теорема Нётер. Как посчитать определитель якобиана?

[Oleg Kashin]

Суть проблемы такая. Разбираюсь с теоремой Нётер. При вариации Лагранжиана в новой системе координат (при бесконечно малых преобразованиях системы координат), элементарных объем в N мерном пространстве можно выразить через определитель якобиана. При этом, из новых координат необходимо перейти в старые. Якобиан получается N x N и сложен определитель якобиана, а в теореме Нётер, он записывается как сумма еденицы и сумма всех производных малого изменения. Не могу понят почему и как это получилось.
Помогите пожалуйста.

[Gafield]

Лучше было бы привести формулы, а то со слов сложно судить. Могу предположить следующее. Если имеется преобразование $x\to y=x+\varepsilon f(x)$, где у $f(x)$ первые производные ограничены, а $\varepsilon $ - малый параметр, то якобиан $\left|\frac{Dy}{Dx}\right|=1+\varepsilon \sum_{i=1}^n \frac{\partial f_i(x)}{\partial x_i}+O(\varepsilon^2) $, то есть остальные члены малы по сравнению с выписанными.

[Oleg Kashin]

Gafield, Вы совершенно правы. Извините, что поленился разобраться как писать формулы. Для преобразований координат используется параметрическая группа. Объясните пожалуйста, как это так получилось. Я даже боюсь вычислять такой определитель.

[Gafield]

По определению - как сумма произведений со знаком. Единственным слагаемым не содержащим $\varepsilon$ будет произзведение единиц на главной диагонали. Чтобы получить член с $\varepsilon$ в первой степени, надо премножить $n-1$ единиц, но тогда оставшийся множитель будет стоять на диагонали, т.е. иметь вид $\varepsilon\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_i}$. Все другие слагаемые будут содержать по крайней мере $\varepsilon^2$.

[TOTAL]

Oleg Kashin писал(а):

можно выразить через определитель якобиана

Через якобиан (это уже определитель)