Про p-группы

[Duelist]

Здравствуйте. Меня терзают сомнения по поводу простых вещей по "социальным" причинам. Либо я сильно туплю, либо вопрос тривиальный. Спасибо.

Я тут решал требуемые задачки. Для $p$-групп используется нетривиальность центра и то, что центр содержит подгруппу порядка $p$ - как абелева $p$-группа. У меня такое ощущение, что условие абелевости излишнее. Пусть $\mathrm{G}$ - $p$-группа. Пусть порядок $\mathrm{G}$ равен $p^n$, $ n \geqslant 1$. Если $\mathrm{G}$ - циклическая, то утверждение выполняется для $\mathrm{G}$. Пусть $\mathrm{G}$ - не циклическая, тогда рассмотрим $g \in \mathrm{G}$, $g \neq e$, $\mathrm{ord} \langle g \rangle$ $= p^k$, $1 \leqslant k < n$. Тогда $\langle g \rangle$ содержит подгруппу порядка $p$, которая будет подгруппой $\mathrm{G}$.

[SomePupil]

Все верно. Докажите напоследок утверждение для любой конечной группы $G$: если $p$ делит порядок группы $|G|,$ то $G$ содержит элемент порядка $p$ (равносильно $-$ подгруппу порядка $p$.)

-- 02.12.2018, 08:58 --

Еще занимательный факт: конечная абелева группа $G$ порядка $m = |G|$ содержит подгруппу порядка $n$ для любого $n | m.$ Если я правильно помню.

[Duelist]

Спасибо.

SomePupil в сообщении #1358063 писал(а):

для любой конечной группы $G$: если $p$ делит порядок группы $|G|,$ то $G$ содержит элемент порядка $p$ (равносильно $-$ подгруппу порядка $p$.)

Это следует из существования силовской подгруппы и того, что я написал выше.

SomePupil в сообщении #1358063 писал(а):

Еще занимательный факт: конечная абелева группа $G$ порядка $m = |G|$ содержит подгруппу порядка $n$ для любого $n | m.$ Если я правильно помню.

Я бы сказал, что это не некий выделенный занимательный факт, а следствие структурной теоремы для конечнопорождённых абелевых групп в случае, когда группа совпадает со своей подгруппой кручения.