точки и плоскость

[Мироника]

Подскажите, пожалуйста, как показать, что четыре точки не лежат в одной плоскости

[Бодигрим]

Я бы подсчитал объем параллелепипеда, построенного на этих точках. Для этого удобно перенести одну из них в начало координат и вычислить объем как определитель матрицы, составленной из новых координат трех оставшихся точек.

[нг]

Сообщение piff, содержащее полное решение, удалено.

piff
Замечание за помещение решения и игнорирование требований правил о записи формул.

[Мироника]

piff Ваше полное решение (теперь уже удаленное) прочитать не успела. Просто намекните по какой формуле, а я продолжу

[Бодигрим]

piff предлагал записать уравнение плоскости через три точки и проверить, принадлежит ли этой плоскости четвертая.

[Someone]

Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ линейно зависимы.

[Мироника]

Бодигрим писал(а):

piff предлагал записать уравнение плоскости через три точки и проверить, принадлежит ли этой плоскости четвертая.

Понятно. Я так и хотела. Записать уравнение плоскости в виде

$$ \left| \begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array} \right| =0 $$

Просто мне интересно как будет аккуратнее записать - сначала подставить три точки и найти уравнение плоскости, а потом проверить четвертую точку или можно сразу все четыре точки туда подставить?

Добавлено спустя 1 минуту 32 секунды:

Someone писал(а):

Точки $A$, $B$, $C$, $D$ лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ линейно зависимы.

А вот если с векторами, то сразу такой определитель и получается... да?

[Brukvalub]

Мироника писал(а):

можно сразу все четыре точки туда подставить

И даже нужно!

[Мироника]

Brukvalub писал(а):

Мироника писал(а):

можно сразу все четыре точки туда подставить

И даже нужно!

Отлично! Спасибо! Я поняла это действительно логично - записываем уравнение плоскости и подставляем туда все четыре точки, если верно, то они в одной плоскости, если неверно, то не в одной!

[Piff]

простите за нарушение, хотел помочь!

[Azog]

Есть аксиома о том, что существуют 4 точки не лежащие в 1 плоскости. Или Вас аналитеская геометрия интересует? Тогда составьте матрицу из координат и изучите невырожденность данного линейного оператора.