Уравнение с радикалами 5-й степени

[dmd]

Дано уравнение

$$\sqrt[5]{a x+a+x^2+x+3}+\sqrt[5]{a x+a+x^2+2 x}=\sqrt[5]{2 a x+2 a+2 x^2+3 x+3}$$

где $a$ параметр и корень 5-й степени из отрицательного числа $n$ есть $sign(n)\sqrt[5]{abs(n)}$.

Найдите наименьшее рациональное $a$, при котором это уравнение имеет всего четыре различных корня.

[kotenok gav]

«Уравнение с радикалами 5-й степени»?

[Sender]

На мой взгляд, требование рациональности в таком контексте смотрится как-то странно.

[dmd]

Подсказка:


Предлагаю ещё усложнить задачу. Найдите дополнительно значения $a$, при которых количество различных корней уравнения будет всего пять и всего три.

[Sender]

Обычно такие задачи формулируют ещё проще: решить уравнение с параметром. Можно заметить, что исходное уравнение можно переписать в виде $\sqrt[5]{u}+\sqrt[5]{v}=\sqrt[5]{u+v}$, после чего задача из олимпиадных переходит в разряд простых учебных.