2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство 25.
Сообщение30.11.2018, 18:07 


03/03/12
1166
При условии $a^3+b^3+c^3=3$

для положительных $(a,b,c)$ докажите или опровергните неравенство:

$$(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4\ge3$$

(Оффтоп)

На соседнем форуме пытаются доказать это неравенство (пока безрезультатно). Я думаю, что оно ложное (контрпример я нашла аналитическим путём, т.е. нашла область, где это неравенство неверно; потом нашла конкретное число для контрпримера и результат проверила на Вольфраме).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 25.
Сообщение30.11.2018, 20:05 


26/08/11
1779
TR63 в сообщении #1357766 писал(а):
т.е. нашла область, где это неравенство неверно;
А я пробую найти хотя бы одну тойку, кроме $(1,1,1)$ для которой данное неравенство верно. Вы случайно знак неравенства не перепутали?

-- 30.11.2018, 19:13 --

Ну да

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 25.
Сообщение30.11.2018, 20:57 


03/03/12
1166
Shadow в сообщении #1357803 писал(а):
Вы случайно знак неравенства не перепутали

Shadow, спасибо.
Перепутала. Исправляю:
TR63 в сообщении #1357766 писал(а):
При условии $a^3+b^3+c^3=3$

для положительных $(a,b,c)$ докажите неравенство:

$$(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4\le3$$


У меня ложным получилось неравенство:
$$(x^3+y^3+1)^8\ge3^5(x^4+x^4y^4+y^4)^3$$
При $0\le(x;y)\le1$
Исходное свелось к этому неравенству (значит, где-то ошибка). Но это неравенство тоже интересное. Оно верно для многих частных случаев, например $x=y$ и другие. Задача: как найти контрпример к этому неравенству.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 25.
Сообщение01.12.2018, 04:40 
Заслуженный участник


26/06/07
1860
Tel-aviv
TR63 в сообщении #1357766 писал(а):
При условии $a^3+b^3+c^3=3$

для положительных $(a,b,c)$ докажите неравенство:

$$(ab)^4+(bc)^4+(ca)^4\le3$$

By AM-GM and Schur we obtain:
$$\sum_{cyc}a^4b^4=\sum_{cyc}\left(a^3b^3\cdot ab\right)\leq\sum_{cyc}\left(a^3b^3\cdot\frac{a^3+b^3+1}{3}\right)=\frac{1}{9}\sum_{cyc}\left(3a^6b^3+3a^6c^3+a^3b^3(a^3+b^3+c^3)\right)=$$
$$=\frac{1}{9}\sum_{cyc}(4a^6b^3+4a^6c^3+a^3b^3c^3)\leq\frac{1}{9}(a^3+b^3+c^3)^3=3.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 25.
Сообщение01.12.2018, 10:14 


03/03/12
1166
arqady, если я правильно поняла, то из такой записи:

$3a^3b^3(a^3+b^3+1)=3a^6b^3+3a^6c^6+a^3b^3(a^3+b^3+c^3)$

следует, что $a^6c^3=b^6a^3$, т.е. $ac=b^2$. Это соответствует в моём неравенстве $xy=1$. Я в исходном неравенстве сделала замену: $a=xb$ и $c=yb$. Оно свелось к неравенству от двух переменных:
TR63 в сообщении #1357829 писал(а):
неравенство:
$$(x^3+y^3+1)^8\ge3^5(x^4+x^4y^4+y^4)^3$$

Ошибки в преобразованиях найти не могу. Моё неравенство (преобразованное из исходного) при $xy=1$ тоже верно. Но для самого неравенства (моего) имеется контрпример. Его, а лучше целую область, предлагаю найти. Это полезно сделать для того, чтобы показать: не для всех перестановочных неравенств достаточно их исследовать при частных случаях. Например, $x=y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 25.
Сообщение01.12.2018, 19:06 
Заслуженный участник


26/06/07
1860
Tel-aviv
TR63 в сообщении #1357916 писал(а):
arqady, если я правильно поняла, то из такой записи:

$3a^3b^3(a^3+b^3+1)=3a^6b^3+3a^6c^6+a^3b^3(a^3+b^3+c^3)$

следует, что $a^6c^3=b^6a^3$, т.е. $ac=b^2$.

Если понять ошибку, которую Вы сделали при переписывании, то эта запись без знака цикличекой суммы просто ошибочна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 25.
Сообщение01.12.2018, 21:09 


03/03/12
1166
arqady в сообщении #1357991 писал(а):
Если понять ошибку, которую Вы сделали при переписывании

Да, вижу опечатку. Спасибо. Должно быть так:
arqady в сообщении #1357905 писал(а):
$$\sum_{cyc}\left(a^3b^3\cdot\frac{a^3+b^3+1}{3}\right)=\frac{1}{9}\sum_{cyc}\left(3a^6b^3+3a^6c^3+a^3b^3(a^3+b^3+c^3)\right)=$$


Я не поняла этот переход, и подумала, что это возможно только при $ac=b^2$. Поэтому спросила: верно ли я это поняла. Или запись верна при любых $(a;b;c)$ из области определения? Если "да", то вопросов больше нет и можно переходить ко второй задаче.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 25.
Сообщение02.12.2018, 12:23 


03/03/12
1166
В своём "контрпримере" нашла опечатку. Перепроверила. Получается в той точке верное неравенство (моё). Моё неравенство получено из исходного неравенства, которое, как доказал arqady, верно.
arqady, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 25.
Сообщение08.12.2018, 09:04 


03/03/12
1166
Возник вопрос: как доказать моё неравенство (использование Вольфрама допускается)

TR63 в сообщении #1357829 писал(а):
неравенство:
$$(x^3+y^3+1)^8\ge3^5(x^4+x^4y^4+y^4)^3$$
При $0\le(x\le y)\le1$
,

не опираясь на уже доказанное исходное неравенство. (Ведь, это же надо догадаться сделать обратное преобразование функции от двух переменных к функции от трёх переменных с условием, и к ней применить АМ-ГМ и Шура.)
У меня Вольфрам в лоб такое неравенство не берёт (возможно, я неправильно делаю запрос). Если не в лоб, то всё сходится(?):

Поясню используемую мной идею.

Неравенство

$$f(x;y)=(x^3+y^3+1)^8-3^5(x^4+x^4y^4+y^4)^3\ge0\eqno(1)$$

При $x=y$ будет иметь вид

$$(y^3+y^3+1)^8-243(y^4+y^4y^4+y^4)^3\ge0\eqno(2)$$

И верно в области $-0.45865<x\le y\le1$.

Тогда

$$(-y^3-y^3+1)^8-243(y^4+y^4y^4+y^4)^3\ge0$$

верно в области: $-1\le y\le0.4586$.

Тогда моё неравенство будет ослабленным по отношению к этому неравенству и верным в области $0\le x\le y\le0.45865$. Останется исследовать область вне этой. Перейдём к доказательству моего неравенства $(1)$ при $x=y$ в области($(x;y)>0.4586$), усилив его

$$(0.4586^3+y^3+1)^8\ge243(2y^4+y^8)^3$$

Получаем область, в которой это неравенство верно: $-0.51\le y<0.6394$. Ослабляем и получаем неравенство $(1)$, верное в области $0.4586\le(x\le y)<0.6394$. Остаётся исследовать область вне этой. Процесс продолжаем. Т.е. рассматриваем $x=y$. Усиливаем левую часть$(2)$, полагая первый из игреков равным $y=0.6394$ . Область расширяется. Остаётся исследовать вне этой области. Получается монотонная ограниченная последовательность (справа). Имеет предел. Он равен единице.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 25.
Сообщение12.12.2018, 11:49 


03/03/12
1166
Используя идею, предложенную мной выше, можно решать более общую задачу.

Задача 1.

При каких натуральных взаимно простых $(l;q)>0$, {l-нечётное; q-чётное} и $0<(x=y)\le1$ (рассматриваем пока упрощённый вариант моего неравенства) верно неравенство:

$$(y^l+y^l+1)^8-243(y^q+y^qy^q+y^q)^3\ge0$$

Замечание.

Для ограниченного числа пар $(l;q)$ задача решается перебором на Вольфраме. Поэтому в качестве ответа следует предлагать неограниченные серии либо как можно более длинные.

Мой ответ в оффтопе:

(Оффтоп)

$\frac q l=\frac{4k+2m}{2k+2m-1}\ge\frac4 3$ $(k\neq m)$-целые положительные числа.


Существует ли контрпример к моей серии?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group