Диагонализуемость матрицы

[xjar1]

Пусть $\mathcal{A}$ - линейный оператор в $V$, $\dim{V}=n$ и $\mathcal{A}$ имеет $n$ различных собственных чисел. Тогда мы имеем $n$ линейно независимых собственных векторов $v_1, \ldots, v_n$.

В базисе $v_1, \ldots, v_n$ матрица оператора $\mathcal{A}$ будет иметь диагональный вид.

Далее под $(v_1, \ldots, v_n)$ будем иметь ввиду матрицу, составленную из собственных векторов-столбцов.
Мы можем записать

$$A (v_1, \ldots, v_n)=(\lambda_1 v_1, \ldots, \lambda_n v_n)=(v_1, \ldots, v_n) \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$$

$$(v_1, \ldots, v_n)^{-1}A(v_1, \ldots, v_n)=\operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) $$

Видно, что $(v_1, \ldots, v_n)$ можно рассматривать как матрицу перехода от одного базиса к другому. Так от какого к какому? А если мы, например, будем рассматривать только матричные равенства без рассмотрения линейных пространств и базисов?

Верно ли следующее понимание?
Если $A$ - какая-то матрица с различными собственными числами, то мы можем ее понимать, как матрицу некого оператора $\mathcal{A}$ в некотором базисе. Если мы составим матрицу из собственных векторов $(v_1, \ldots, v_n)$, то именно она будет являться матрицей перехода от этого неизвестного базиса к базису, в котором оператор будет иметь диагональный вид.


Кстати, получается, все тоже самое можно отнести и к ЖНФ, если рассматривать не только собственные, но и корневые векторы?

Спасибо!

[nya]

xjar1 в сообщении #1357672 писал(а):

Так от какого к какому?

От $e_i$ к $v_i$, дело в том что когда вы говорите "составим матрицу из собственных векторов", вы уже предполагаете неявно что есть некоторый базис $e_i$ в котором вы изначально работаете, и $(v_1,...,v_n)e_i=v_i$.

xjar1 в сообщении #1357672 писал(а):

Если $A$ - какая-то матрица с различными собственными числами, то мы можем ее понимать, как матрицу некого оператора $\mathcal{A}$ в некотором базисе. Если мы составим матрицу из собственных векторов $(v_1, \ldots, v_n)$, то именно она будет являться матрицей перехода от этого неизвестного базиса к базису, в котором оператор будет иметь диагональный вид.

Опять же, если вы рассматриваете матрицы то у вас уже есть канонический базис $e_i = (0,...,1,...,0)^T$ (единица на i-ом месте), поэтому странно называть его "неизвестным". В остальном правильно

[xjar1]

Интересует вопрос, на практике, в большинстве случае ведь встречаются матрицы без кратных собственных чисел? Получается тогда их всегда можно привести к диагональному виду.

Важность ЖНФ теоретическая или все-таки широко используется в реальных задачах?

P.S. Вероятность того, что у случайно выбранной матрицы будет кратное собственное число - это 0?

[vpb]

xjar1 в сообщении #1357729 писал(а):

P.S. Вероятность того, что у случайно выбранной матрицы будет кратное собственное число - это 0?

Да, конечно.

Нет, ЖНФ существует не только из любви к искусству. Очевидное (самое известно, то есть) место, где она появляется --- теория линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Еще при численном интегрировании диффуравнений. Еще при, допустим, классификации элементов в конечных группах с точностью до сопряженности. При рассмотрении нильпотентных линейных преобразований любой природы. Численном решении обычных систем линейных уравнений. И вообще, свойства линеного оператора зависят от того, в разных аспектах, насколько он близок к оператору с недиагональной жордановой формой... "тысячи их" ! Короче, понятие о жордановой форме совершенно необходимо.

-- 30.11.2018, 14:57 --

Еще насчет матриц перехода. Это известное место, в котором студент (и вообще учащийся) путается. Правое путается с левым, строки со столбцами, базис со столбцом координат, старые координаты с новыми и т.д. А как дойдет до того, что практически дано пространство, на нем какой-то оператор, и надо его записать в другом базисе, там подумаете некоторое время и сами, есть шанс, довольно быстро разберетесь, где право и где лево. А если с этим на экзамене немножко попутаетесь, Вас не съедят, думаю.

[dsge]

xjar1 в сообщении #1357729 писал(а):

Интересует вопрос, на практике, в большинстве случае ведь встречаются матрицы без кратных собственных чисел? Получается тогда их всегда можно привести к диагональному виду.
Важность ЖНФ теоретическая или все-таки широко используется в реальных задачах?
P.S. Вероятность того, что у случайно выбранной матрицы будет кратное собственное число - это 0?

На практике, люди пытаются почему-то все делать симметричным. Если рассмаривать какой- нибудь эллиптический оператор в симметричной области с классическими граничными условиями, то наверняка возникнут кратные собственные числа. Симметричные конструкции колеблются с кратными частотами.
А в общем случае - да, в пространстве матриц, матрицы с кратными собственными числами составляют довольно тощее множество.

[nya]

На практике работать с сингулярными и с нестандартной жордановой формой матрицами гораздо лучше, чем с плохообусловленными. Иначе говоря, на практике лучше иметь кратное собственное число, чем два некратных которые очень близко друг к другу.

[xjar1]

vpb в сообщении #1357732 писал(а):

Очевидное (самое известно, то есть) место, где она появляется --- теория линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Можно узнать, в реальных задачах на практике разве матрица системы $\dot{x}=A x$ не будет всегда иметь различные собственные числа?

Я понимаю есть учебные примеры, но если где-то мы смоделируем реальную задачу таким образом, что получим какую-нибудь большую матрицу $A$, то ведь скорее всего у нее не будет кратных собственных чисел, а значит ЖНФ не понадобится, достаточно будет диагонализировать матрицу.

Разве не так? Просветите

[vpb]

Думаю, при этом "диагонализирующая" матрица, т.е. описывающая базис, в котором оператор становится диагональным, может быть ужасно велика, и гораздо лучше смотреть на матрицу как на чуть возмущенную жорданову. Конкретно с реальными задачами я не знаком, однако же в книжке Бахвалов, Численные методы, например в главе VI, параграф 4, есть любопытные примеры. Не думаю, что это что-то высосанное из пальца.

[vpb]

Вот еще пример полезности жордановой формы, тоже из вычислительной математики. Будем численно решать обычную линейную систему $Ax=b$. Допустим, что мы немного изменили матрицу $A$ и вектор правых частей $b$. Насколько изменится решение $x$? Может быть так, что и $A$ и $b$ изменятся немного, а $x$ сильно. Притом, что и $A$ и $b$ имеют небольшие элементы. То есть получается, что решение как бы неустойчиво относительно данных (в таких случаях говорят,
что матрица $A$ "плохо обусловлена"). Это бывает, когда у матрицы $A^{-1}$ большие элементы.

А еще при численном решении добавляются ошибки округления, они накапливаются, и могут сильно подпортить результат.
А когда рассматривается задача обращения матрицы, а не просто решения линейной системы, то все еще хуже (так в этой области традиционно считается, хотя я для себя этого еще не уразумел). Это всё достаточно сложная наука, не настолько, как разные части "чистой" математики, но тоже непростая.

Так вот, при чем тут жордановы матрицы ? Они как раз могут играть роль "модельной задачи", на которой плохие варианты и реализуются, потому что матрица, обратная к жорданову блоку $J_k(\lambda)$, вообще говоря, очень велика, при небольших $\lambda$.

Не знаю, поняли ли Вы что из этого текста, но в общем мораль такая: в математике, по большому счету, куда ни плюнь, тут же в жорданову форму и попадешь.

[mihaild]

nya в сообщении #1357756 писал(а):

Иначе говоря, на практике лучше иметь кратное собственное число, чем два некратных которые очень близко друг к другу.

А в чем проблема с близкими собственными значениями?

vpb в сообщении #1357893 писал(а):

таких случаях говорят, что матрица $A$ "плохо обусловлена"

Только всё-таки надо сказать (чтобы не путать читателей), что обусловленность - это отношение максимального и минимального собственного значения. Само по себе минимальное собственное значение (пока оно ненулевое) не особо интересно, т.к. домножить всю систему на константу можно один раз в самом начале с большой точностью, а вот уменьшить отношение собственных значений просто не получится.
(и скажем большое число обусловленности плохо еще тем, что для градиентного спуска условие на сходимость выражается через максимальное собственное значение, а скорость сходимости определяется минимальным)

[g______d]

mihaild в сообщении #1357895 писал(а):

А в чем проблема с близкими собственными значениями?

Пример (но не в контексте жордановых клеток): в теории возмущений (как в классической, так и в квантовой) возникает уравнение такого типа: $[A,X]=C$, где $A,C$ -- самосопряжённые матрицы, $X$ неизвестная матрица. Если у $A$ все собственные числа $\lambda_j$ различны, то можно просто выписать ответ (в диагональном представлении для $A$). С точностью до знака, мне лень проверять.

$$ X_{ij}=\frac{C_{ij}}{\lambda_i-\lambda_j},\quad i\neq j, $$

$X_{ii}$ можно взять каким угодно.

Тот факт, что $\lambda_i$ можно быть близко к $\lambda_j$, обычно неформально называется проблемой малых знаменателей. Решать её можно по-разному, но обычно всё-таки без жордановых клеток.

[vpb]

vpb в сообщении #1357893 писал(а):

Притом, что и $A$ и $b$ имеют небольшие элементы

Извиняюсь, вчера случайно ерунду написал. Надо еще было добавить, что $A$ не только небольшая по величине, но и не слишком маленькая, скажем максимальный по модулю элемент порядка единицы.

-- 01.12.2018, 12:00 --

mihaild в сообщении #1357895 писал(а):

Только всё-таки надо сказать (чтобы не путать читателей), что обусловленность - это отношение максимального и минимального собственного значения.

Позволю себе думать, что мое приблизительное объяснение может быть ТС понятнее. А может и нет. Подробности про отношение ему, возможно, и ни к чему. И еще: это отношение не собственных, а сингулярных чисел. (Для симметрических положительно определенных операторов сингулярные числа совпадают с собственными, а в общем случае нет (едва ли ТС сейчас это будет интересно, но если охота, можно посмотреть Беклемишев, Дополнительные главы линейной алгебры, например).

(Оффтоп)

Есть еще годная книжка Trefethen, Bau, Numerical linear algebra, , но это уже вообще для сведения случайно забредших)

Кроме того, бывают разные числа обусловленности, связанные с разными матричными нормами. Мое мнение, что спектральное (которое отношение сингулярных чисел) как раз не самое полезное, потому что его на практике трудно оценить.

[bot]

xjar1 в сообщении #1357729 писал(а):

Вероятность того, что у случайно выбранной матрицы будет кратное собственное число - это 0?

А что такое случайно выбранная матрица?

"Случайно выбранная матрица" невырождена - подумал молодой препод и недолго думая набрал задачек (всем разные) для контрольной на обращение матриц 3-го порядка. Числа естественно брал целыми и небольшими.