ТРАПЕЦИЯ. Задачи для 8 класса повышенной трудности

[Клавдия]

1. В трапеции ABCD биссектриса угла BAD при основании AD пересекает сторону CD в точке М и продолжнние основания ВС в точке К. Найти длину стороны CD, если известно, что АВ=12, AD=24, AM=16, MK=4.
2. В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна 90 градусов. Пусть MN - отрезок, соединяющий середины оснований, PQ - отрезок, соединяющий середины диагоналей. Доказатть, что MN=PQ.

[Алексей К.]

К (1):
Треугольнички $AMD$ и $KMC$ чем-то похожи?
Треугольничек $AKB$ какой?

[Архипов]

Клавдия писал(а):

1. В трапеции ABCD биссектриса угла BAD при основании AD пересекает сторону CD в точке М и продолжнние основания ВС в точке К. Найти длину стороны CD, если известно, что АВ=12, AD=24, AM=16, MK=4.

Предположительно:
Треугольник АВК -равнобедренный , потому ВК=12, ВС=6. Треугольник АКD -прямоугольный (продолжим AB и KD - получим равнобедренный тр-к с высотой АК), из чего найдем длину KD. Треугольник KMD тоже прямоугольный, из чего найдем длину MD. Из подобия получим пропорцию CD/MD=AK/AM и найдем ответ.

[bekas]

2) Продолжите AB и CD до их пересечения и обратите внимание на получившийся прямоугольный треугольник, из которого легко получить, что MN равно полуразности оснований. Доказательство того, что PQ также равно этой полуразности, аналогично не составит особого труда...