Переход к независимым с.в.

[shukshin]

Добрый вечер, уважаемые участники форума!
1)Можно ли как-то толково упростить матожидание $E[f(X_1) \cdot g(X_1^2+X_2^2+X_3^2+...+X_n^2)]$
для стандартных нормальных $X$ в общем случае? (В идеале что бы все распалось на $E[f(X_1)]$) и $E[g(X_1^2+X_2^2+X_3^2+...+X_n^2)]$)
Я знаю, что иногда в таких случаях работают ортогональные линейные преобразования, но здесь что-то не придумать.
2)Можете посоветовать какие-нибудь материалы на эту тему?
(a la Есть вектор из зависимых с.в. -> делаем вектор независимых)?

[mihiv]

Можно упростить, если $X_i$ имеют одинаковые нормальные распределения и $E(X_i)=0$.

[--mS--]

А как это может помочь?

[mihiv]

В этом случае совместная плотность распределения: $p(x_1, ...x_n)=C\exp (-\dfrac {1}{2\sigma ^2}(x_1^2+ ... +x_n^2))$. Переходим к обобщенным полярным координатам (Г.М.Фихтенгольц, 1997 г., т.3, гл.XVIII, §676):$x_1=r\cos \varphi _1, ... ,x_n=r\sin \varphi_1...\sin \varphi _{n-1}, r^2=x_1^2+ ... +x_n^2$. Интегралы по $\varphi _i, i=2, ..., n-1$ вычисляются в явном виде, и все сводится к:

$$\int \limits _0^{\pi }\int _0^{\infty }r^{n-1}f(r\cos \varphi _1)g(r^2)\exp (-\frac {r^2}{2\sigma ^2})drd\varphi _1$$

[shukshin]

Спасибо, это действительно должно помочь.